有限数学例

$e^{2 x}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = e^{2 y}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $e^{2 y} = x$ として書き換えます。

$e^{2 y} = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x)$

ステップ 2.3

左辺を展開します。

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ステップ 2.3.1

$2 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{2 y})$ を展開します。

$2 y \ln (e) = \ln (x)$

ステップ 2.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$2 y \cdot 1 = \ln (x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 y = \ln (x)$

ステップ 2.4

$2 y = \ln (x)$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2 y = \ln (x)$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2}$

ステップ 2.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x)}{2}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ が $f (x) = e^{2 x}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (e^{2 x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{\ln (e^{2 x})}{2}$

ステップ 4.2.3

$2 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{2 x})$ を展開します。

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

ステップ 4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (e^{2 x}) = \frac{2 x \ln (e)}{2}$

ステップ 4.2.4.2

$x \ln (e)$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \ln (e)$

ステップ 4.2.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x \cdot 1$

ステップ 4.2.6

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (e^{2 x}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x)}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

ステップ 4.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2})}$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = e^{\ln (x)}$

ステップ 4.3.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (x)}{2}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$ は $f (x) = e^{2 x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2}$

有限数学 例

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