有限数学例

$0 > - x^{2} + 7 x + 12$

ステップ 1

$x$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$- x^{2} + 7 x + 12 < 0$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$- x^{2} + 7 x + 12 = 0$

ステップ 3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4

$a = - 1$ 、 $b = 7$ 、および $c = 12$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 12)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot 12}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 5.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot 12$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot 12}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 5.1.2.2

$4$ に $12$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 48}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 5.1.3

$49$ と $48$ をたし算します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 5.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{- 2}$

ステップ 5.3

$\frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{- 2}$ を簡約します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{97}}{2}$

ステップ 6

解をまとめます。

$x = \frac{7 + \sqrt{97}}{2}, \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$0 > - {(- 4)}^{2} + 7 (- 4) + 12$

ステップ 8.1.3

左辺 $0$ は右辺 $- 32$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.2

区間 $\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$0 > - {(0)}^{2} + 7 (0) + 12$

ステップ 8.2.3

左辺 $0$ は右辺 $12$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.3

区間 $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 11$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $11$ で置き換えます。

$0 > - {(11)}^{2} + 7 (11) + 12$

ステップ 8.3.3

左辺 $0$ は右辺 $- 32$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ 真

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ 偽

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ 真

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ 真

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ 偽

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ 真

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ または $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2} or x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

区間記号：

$(- \infty, \frac{7 - \sqrt{97}}{2}) \cup (\frac{7 + \sqrt{97}}{2}, \infty)$

ステップ 11

有限数学 例

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