有限数学例

$\frac{x + 7}{- x - 5} < 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 7 = 0$

$- x - 5 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x = - 7$

ステップ 3

方程式の両辺に $5$ を足します。

$- x = 5$

ステップ 4

$- x = 5$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$- x = 5$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{5}{- 1}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{5}{- 1}$

ステップ 4.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{- 1}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$5$ を $- 1$ で割ります。

$x = - 5$

ステップ 5

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 7$

$x = - 5$

ステップ 6

解をまとめます。

$x = - 7, - 5$

ステップ 7

$\frac{x + 7}{- x - 5}$ の定義域を求めます。

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ステップ 7.1

$\frac{x + 7}{- x - 5}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$- x - 5 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$- x = 5$

ステップ 7.2.2

$- x = 5$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$- x = 5$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{5}{- 1}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{5}{- 1}$

ステップ 7.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{- 1}$

ステップ 7.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.3.1

$5$ を $- 1$ で割ります。

$x = - 5$

ステップ 7.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 7$

$- 7 < x < - 5$

$x > - 5$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$\frac{(- 10) + 7}{- (- 10) - 5} < 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $- 0.6$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.2

区間 $- 7 < x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 7 < x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{(- 6) + 7}{- (- 6) - 5} < 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $1$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.3

区間 $x > - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $x > - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) + 7}{- (0) - 5} < 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $- 1.4$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 7$ 真

$- 7 < x < - 5$ 偽

$x > - 5$ 真

$x < - 7$ 真

$- 7 < x < - 5$ 偽

$x > - 5$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 7$ または $x > - 5$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - 7 or x > - 5$

区間記号：

$(- \infty, - 7) \cup (- 5, \infty)$

ステップ 12

有限数学 例

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