有限数学例

$\frac{1}{1 - \sin^{2} (t)}$

ステップ 1

$\frac{1}{1 - \sin^{2} (t)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$1 - \sin^{2} (t) = 0$

ステップ 2

$t$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \sin^{2} (t) = - 1$

ステップ 2.2

$- \sin^{2} (t) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- \sin^{2} (t) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin^{2} (t)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin^{2} (t)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2

$\sin^{2} (t)$ を $1$ で割ります。

$\sin^{2} (t) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\sin^{2} (t) = 1$

ステップ 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (t) = \pm \sqrt{1}$

ステップ 2.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sin (t) = \pm 1$

ステップ 2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (t) = 1$

ステップ 2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (t) = - 1$

ステップ 2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (t) = 1, - 1$

ステップ 2.6

各解を求め、 $t$ を解きます。

$\sin (t) = 1$

$\sin (t) = - 1$

ステップ 2.7

$\sin (t) = 1$ の $t$ について解きます。

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ステップ 2.7.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $t$ を取り出します。

$t = \arcsin (1)$

ステップ 2.7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.7.2.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$t = \frac{π}{2}$

ステップ 2.7.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$t = π - \frac{π}{2}$

ステップ 2.7.4

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.7.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$t = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.7.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.7.4.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$t = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.7.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$t = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 2.7.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.4.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$t = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 2.7.4.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$t = \frac{π}{2}$

ステップ 2.7.5

$\sin (t)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.7.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.7.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.7.6

$\sin (t)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$t = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.8

$\sin (t) = - 1$ の $t$ について解きます。

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ステップ 2.8.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $t$ を取り出します。

$t = \arcsin (- 1)$

ステップ 2.8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.8.2.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$t = - \frac{π}{2}$

ステップ 2.8.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 2.8.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 2.8.4.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 2.8.4.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$t = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.8.5

$\sin (t)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.8.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.8.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.8.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 2.8.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 2.8.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.8.6.3

分数をまとめます。

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ステップ 2.8.6.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.8.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 2.8.6.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.8.6.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 2.8.6.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 2.8.6.5

新しい角をリストします。

$t = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.8.7

$\sin (t)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$t = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.9

すべての解をまとめます。

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.10

答えをまとめます。

$t = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

${t | t = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 4

有限数学 例

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