有限数学例

$\ln (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}})$

ステップ 1

$\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 1)}^{3} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3

$\ln (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}})$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}} \leq 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} = 0$

${(x + 1)}^{3} = 0$

ステップ 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 4.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.4

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.5

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4.6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = - 1$

ステップ 4.7

解をまとめます。

$x = 0, - 1$

ステップ 4.8

$\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.8.1

$\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 1)}^{3} = 0$

ステップ 4.8.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.8.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.8.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4.8.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 4.9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

ステップ 4.10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 4.10.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 4.10.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 4.10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{{(- 4)}^{2}}{{((- 4) + 1)}^{3}} \leq 0$

ステップ 4.10.1.3

左辺 $- 0.\overline{592}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 4.10.2

区間 $- 1 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 4.10.2.1

区間 $- 1 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.5$

ステップ 4.10.2.2

$x$ を元の不等式の $- 0.5$ で置き換えます。

$\frac{{(- 0.5)}^{2}}{{((- 0.5) + 1)}^{3}} \leq 0$

ステップ 4.10.2.3

左辺 $2$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 4.10.3

区間 $x > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 4.10.3.1

区間 $x > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 4.10.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{{(2)}^{2}}{{((2) + 1)}^{3}} \leq 0$

ステップ 4.10.3.3

左辺 $0.\overline{148}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 4.10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 0$ 偽

$x > 0$ 偽

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 0$ 偽

$x > 0$ 偽

ステップ 4.11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 1$ または $x = 0$

ステップ 5

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 1, x = 0$

ステップ 6

有限数学 例

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