有限数学例

$f (x) = x^{6} - 64$

ステップ 1

$x^{6}$ を ${(x^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$f (x) = {(x^{2})}^{3} - 64$

ステップ 2

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$f (x) = {(x^{2})}^{3} - 4^{3}$

ステップ 3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 4$ です。

$f (x) = (x^{2} - 4) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = (x^{2} - 2^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

ステップ 4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

ステップ 4.3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

ステップ 4.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

ステップ 4.4

$4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 4^{2})$

ステップ 4.5

$4$ を $2$ 乗します。

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 16)$

ステップ 4.6

因数分解。

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ステップ 4.6.1

因数分解した形で $x^{4} + 4 x^{2} + 16$ を書き換えます。

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ステップ 4.6.1.1

中項を書き換えます。

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 4 - 4 x^{2} + 16)$

ステップ 4.6.1.2

項を並べ替えます。

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 - 4 x^{2})$

ステップ 4.6.1.3

最初の3項を完全平方式で因数分解します。

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ({(x^{2} + 4)}^{2} - 4 x^{2})$

ステップ 4.6.1.4

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ({(x^{2} + 4)}^{2} - {(2 x)}^{2})$

ステップ 4.6.1.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2} + 4$ であり、 $b = 2 x$ です。

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 4 + 2 x) (x^{2} + 4 - (2 x)))$

ステップ 4.6.1.6

簡約します。

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ステップ 4.6.1.6.1

項を並べ替えます。

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} + 4 - (2 x)))$

ステップ 4.6.1.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} + 4 - 2 x))$

ステップ 4.6.1.6.3

項を並べ替えます。

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4))$

ステップ 4.6.2

不要な括弧を削除します。

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4)$

有限数学 例

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