有限数学例

$f (x) = - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$

ステップ 1

有理根検定を用いて $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

ステップ 1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$- 4 \cdot 1^{3} - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

ステップ 1.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$- 4 \cdot 1 - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

ステップ 1.3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 4 - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

ステップ 1.3.4

$1$ を $2$ 乗します。

$- 4 - 8 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 9$

ステップ 1.3.5

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- 4 - 8 + 3 \cdot 1 + 9$

ステップ 1.3.6

$- 4$ から $8$ を引きます。

$- 12 + 3 \cdot 1 + 9$

ステップ 1.3.7

$3$ に $1$ をかけます。

$- 12 + 3 + 9$

ステップ 1.3.8

$- 12$ と $3$ をたし算します。

$- 9 + 9$

ステップ 1.3.9

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9}{x - 1}$

ステップ 1.5

$- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x$

$9$

ステップ 1.5.2

被除数 $- 4 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x^{3} + 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 1.5.7

被除数 $- 12 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 12 x^{2} + 12 x$ の符号をすべて変更します。

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$

ステップ 1.5.12

被除数 $- 9 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							-	$9 x$	+	$9$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 9 x + 9$ の符号をすべて変更します。

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	-	$9$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	-	$9$
										$0$

ステップ 1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- 4 x^{2} - 12 x - 9$

ステップ 1.6

$- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ を因数の集合として書き換えます。

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 12 x - 9)$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 4 \cdot - 9 = 36$ で和が $b = - 12$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1.1

$- 12$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 12 x - 9)$

ステップ 2.1.1.2

$- 12$ を $- 6$ プラス $- 6$ に書き換える

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} + (- 6 - 6) x - 9)$

ステップ 2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 6 x - 6 x - 9)$

ステップ 2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$f (x) = (x - 1) ((- 4 x^{2} - 6 x) - 6 x - 9)$

ステップ 2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$f (x) = (x - 1) (2 x (- 2 x - 3) + 3 (- 2 x - 3))$

ステップ 2.1.3

最大公約数 $- 2 x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$f (x) = (x - 1) ((- 2 x - 3) (2 x + 3))$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$f (x) = (x - 1) (- 2 x - 3) (2 x + 3)$

有限数学 例

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