有限数学例

$f (x) = 10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 188, \pm 2, \pm 94, \pm 4, \pm 47$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 188, \pm 18.8, \pm 94, \pm 37.6, \pm 2, \pm 0.4, \pm 9.4, \pm 47, \pm 4, \pm 0.8, \pm 4.7, \pm 23.5$

ステップ 3

$2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $2$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ を多項式に代入します。

$10 \cdot 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

ステップ 3.2

$2$ を $4$ 乗します。

$10 \cdot 16 - 3 \cdot 2^{3} - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

ステップ 3.3

$10$ に $16$ をかけます。

$160 - 3 \cdot 2^{3} - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

ステップ 3.4

$2$ を $3$ 乗します。

$160 - 3 \cdot 8 - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

ステップ 3.5

$- 3$ に $8$ をかけます。

$160 - 24 - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

ステップ 3.6

$160$ から $24$ を引きます。

$136 - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

ステップ 3.7

$2$ を $2$ 乗します。

$136 - 63 \cdot 4 + 152 \cdot 2 - 188$

ステップ 3.8

$- 63$ に $4$ をかけます。

$136 - 252 + 152 \cdot 2 - 188$

ステップ 3.9

$136$ から $252$ を引きます。

$- 116 + 152 \cdot 2 - 188$

ステップ 3.10

$152$ に $2$ をかけます。

$- 116 + 304 - 188$

ステップ 3.11

$- 116$ と $304$ をたし算します。

$188 - 188$

ステップ 3.12

$188$ から $188$ を引きます。

$0$

ステップ 4

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188}{x - 2}$

ステップ 5

$10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188$ を $x - 2$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

ステップ 5.2

被除数 $10 x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$10 x^{3}$
	$x$	-	$2$		$10 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$63 x^{2}$	+	$152 x$	-	$188$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$10 x^{3}$
$x$	-	$2$		$10 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$63 x^{2}$	+	$152 x$	-	$188$
			+	$10 x^{4}$	-	$20 x^{3}$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $10 x^{4} - 20 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

				$10 x^{3}$
$x$	-	$2$		$10 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$63 x^{2}$	+	$152 x$	-	$188$
			-	$10 x^{4}$	+	$20 x^{3}$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$10 x^{3}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

ステップ 5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$10 x^{3}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

ステップ 5.7

被除数 $17 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

ステップ 5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

ステップ 5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $17 x^{3} - 34 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

ステップ 5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

ステップ 5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

ステップ 5.12

被除数 $- 29 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

ステップ 5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

ステップ 5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 29 x^{2} + 58 x$ の符号をすべて変更します。

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

ステップ 5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

ステップ 5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

ステップ 5.17

被除数 $94 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

ステップ 5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

$94 x$

$188$

ステップ 5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $94 x - 188$ の符号をすべて変更します。

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

$94 x$

$188$

ステップ 5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

$94 x$

$188$

$0$

ステップ 5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$10 x^{3} + 17 x^{2} - 29 x + 94$

ステップ 6

$10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188$ を因数の集合として書き換えます。

$f (x) = (x - 2) (10 x^{3} + 17 x^{2} - 29 x + 94)$

有限数学 例

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