有限数学例

$\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} - 1 = 0$

ステップ 2

$\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} - 1$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{x}{x + 4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - 1 = 0$

ステップ 2.2

$- \frac{1}{x + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 4}{x + 4}$ を掛けます。

$\frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - 1 = 0$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 4) (x + 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{x}{x + 4}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - 1 = 0$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x + 1}$ に $\frac{x + 4}{x + 4}$ をかけます。

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x + 1)} - \frac{x + 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

ステップ 2.3.3

$(x + 4) (x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x (x + 1) - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + x - x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x - x - 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.6

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 0 - 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.7

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.8

因数分解した形で $x^{2} - 4$ を書き換えます。

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ステップ 2.5.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.8.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

ステップ 2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)}$ を掛けます。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 \cdot \frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.7

$- 1$ と $\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)}$ をまとめます。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 4)} + \frac{- ((x + 1) (x + 4))}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + 2) (x - 2) - ((x + 1) (x + 4))}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9

分子を簡約します。

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ステップ 2.9.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 2.9.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.2

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.9.2.1

$x \cdot - 2$ と $2 x$ について因数を並べ替えます。

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.2.2

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.2.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.9.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.3.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.6

分配法則（FOIL法）を使って $(- x - 1) (x + 4)$ を展開します。

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ステップ 2.9.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 4) - 1 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.9.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.9.7.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.9.7.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.7.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.7.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.7.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.7.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 4 x - x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.7.2

$- 4 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 5 x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.8

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{0 - 4 - 5 x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.9

$0$ から $4$ を引きます。

$\frac{- 4 - 5 x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.9.10

$- 4$ から $4$ を引きます。

$\frac{- 5 x - 8}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.10

$- 1$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$\frac{- (5 x) - 8}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.11

$- 8$ を $- 1 (8)$ に書き換えます。

$\frac{- (5 x) - 1 (8)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.12

$- 1$ を $- (5 x) - 1 (8)$ で因数分解します。

$\frac{- (5 x + 8)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.13

$- (5 x + 8)$ を $- 1 (5 x + 8)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (5 x + 8)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 2.14

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 x + 8}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

ステップ 3

分子を0に等しくします。

$5 x + 8 = 0$

ステップ 4

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$5 x = - 8$

ステップ 4.2

$5 x = - 8$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$5 x = - 8$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 8}{5}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 8}{5}$

ステップ 4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 8}{5}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{8}{5}$

有限数学 例

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