有限数学例

$\sin^{2} (x) = 2 + 2 \cos (x)$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\sin^{2} (x) - 2 = 2 \cos (x)$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $2 \cos (x)$ を引きます。

$\sin^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2

$\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$1$ から $2$ を引きます。

$- 1 - \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 3.2

群による因数分解。

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ステップ 3.2.1

項を並べ替えます。

$- \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 3.2.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.2.2.1

$- 2$ を $- 2 \cos (x)$ で因数分解します。

$- \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 3.2.2.2

$- 2$ を $- 1$ プラス $- 1$ に書き換える

$- \cos^{2} (x) + (- 1 - 1) \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 3.2.2.3

分配則を当てはめます。

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) - 1 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 3.2.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) - 1 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 3.2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\cos (x) (- \cos (x) - 1) + 1 (- \cos (x) - 1) = 0$

ステップ 3.2.4

最大公約数 $- \cos (x) - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(- \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

ステップ 3.4

$- \cos (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$- \cos (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$- \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $- \cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- \cos (x) = 1$

ステップ 3.4.2.2

$- \cos (x) = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$- \cos (x) = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.2.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$\cos (x) = - 1$

ステップ 3.4.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 3.4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.4.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 3.4.2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 3.4.2.6

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 3.4.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.4.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.5

最終解は $(- \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

有限数学 例

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