有限数学例

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) = \log_{7} (24)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\log_{7} (24)$ を引きます。

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24) = 0$

ステップ 2

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24)$ を簡約します。

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ステップ 2.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{7} (x (x - 2)) - \log_{7} (24) = 0$

ステップ 2.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$7^{0} = \frac{x (x - 2)}{24}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$ として書き換えます。

$\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $24$ を掛けます。

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

ステップ 4.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$24 \frac{x (x - 2)}{24}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1.1

$24$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

ステップ 4.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$x (x - 2) = 24 \cdot 7^{0}$

ステップ 4.3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

ステップ 4.3.1.1.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

ステップ 4.3.1.1.3.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 7^{0}$

ステップ 4.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$24 \cdot 7^{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 1$

ステップ 4.3.2.1.2

$24$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 2 x = 24$

ステップ 4.4

方程式の両辺から $24$ を引きます。

$x^{2} - 2 x - 24 = 0$

ステップ 4.5

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 24$ を因数分解します。

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ステップ 4.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 24$ で、その和が $- 2$ です。

$- 6, 4$

ステップ 4.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 6) (x + 4) = 0$

ステップ 4.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 4.7

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.7.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 4.7.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 4.8

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.8.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 4.8.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 4.9

最終解は $(x - 6) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 6, - 4$

有限数学 例

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