有限数学例

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

ステップ 2

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1$ を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

ステップ 2.1.1.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

ステップ 2.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1^{2}} - 1 = 0$

ステップ 2.1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$2 + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ を掛けます。

$2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.3

$2$ と $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ をまとめます。

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1)) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x + 2) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 2) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (x - 1) + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.4.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.4.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.4.2

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} + 0 - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.4.3

$2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.5.5

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

ステップ 2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ を掛けます。

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.7

$- 1$ と $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9

分子を簡約します。

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ステップ 2.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.3

分配法則（FOIL法）を使って $(- x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x (x - 1) - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.4.1.2

$- x \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.9.4.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.4.1.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.4.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.4.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.4.2

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 0 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.4.3

$- x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.5

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} + x + 1 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 3

分子を0に等しくします。

$x^{2} + x + 2 = 0$

ステップ 4

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.3

$1$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.4

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.5

$\sqrt{- 1 (7)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 4.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 4.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.3

$1$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.4

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.5

$\sqrt{- 1 (7)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 4.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 4.4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 4.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{7}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2}$

ステップ 4.4.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2}$

ステップ 4.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 4.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.3

$1$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.4

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.5

$\sqrt{- 1 (7)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 4.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 4.5.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 4.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{7}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2}$

ステップ 4.5.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2}$

ステップ 4.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 4.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

有限数学 例

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