有限数学例

$2^{2 x} - 2^{x + 2} - 12 = 0$

ステップ 1

項を並べ替えます。

$2^{2 x} - 12 - 2^{x + 2} = 0$

ステップ 2

$2^{x + 2}$ を $2^{x} \cdot 2^{2}$ に書き換えます。

$2^{2 x} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

ステップ 3

$2^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

${(2^{x})}^{2} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

ステップ 4

括弧を削除します。

${(2^{x})}^{2} - 12 - 2^{x} \cdot 2^{2} = 0$

ステップ 5

$u$ を $2^{x}$ に代入します。

$u^{2} - 12 - u \cdot 2^{2} = 0$

ステップ 6

各項を簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ を $2$ 乗します。

$u^{2} - 12 - u \cdot 4 = 0$

ステップ 6.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$u^{2} - 12 - 4 u = 0$

ステップ 7

$- 12$ を移動させます。

$u^{2} - 4 u - 12 = 0$

ステップ 8

$u$ について解きます。

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ステップ 8.1

たすき掛けを利用して $u^{2} - 4 u - 12$ を因数分解します。

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ステップ 8.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $- 4$ です。

$- 6, 2$

ステップ 8.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 6) (u + 2) = 0$

ステップ 8.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 6 = 0$

$u + 2 = 0$

ステップ 8.3

$u - 6$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 8.3.1

$u - 6$ が $0$ に等しいとします。

$u - 6 = 0$

ステップ 8.3.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$u = 6$

ステップ 8.4

$u + 2$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 8.4.1

$u + 2$ が $0$ に等しいとします。

$u + 2 = 0$

ステップ 8.4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$u = - 2$

ステップ 8.5

最終解は $(u - 6) (u + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 6, - 2$

ステップ 9

$6$ を $u = 2^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$6 = 2^{x}$

ステップ 10

$6 = 2^{x}$ を解きます。

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ステップ 10.1

方程式を $2^{x} = 6$ として書き換えます。

$2^{x} = 6$

ステップ 10.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{x}) = \ln (6)$

ステップ 10.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{x})$ を展開します。

$x \ln (2) = \ln (6)$

ステップ 10.4

$x \ln (2) = \ln (6)$ の各項を $\ln (2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.4.1

$x \ln (2) = \ln (6)$ の各項を $\ln (2)$ で割ります。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

ステップ 10.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.4.2.1

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

ステップ 10.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

ステップ 11

$- 2$ を $u = 2^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$- 2 = 2^{x}$

ステップ 12

$- 2 = 2^{x}$ を解きます。

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ステップ 12.1

方程式を $2^{x} = - 2$ として書き換えます。

$2^{x} = - 2$

ステップ 12.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{x}) = \ln (- 2)$

ステップ 12.3

$\ln (- 2)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 12.4

$2^{x} = - 2$ の解はありません

解がありません

ステップ 13

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

有限数学 例

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