有限数学例

{(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = r^{2}

${(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = r^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺から

r^{2}

$r^{2}$ を引きます。

{(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0

${(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

ステップ 2

{(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} - r^{2}

${(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} - r^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

{(x - 3)}^{2}

${(x - 3)}^{2}$ を

(x - 3) (x - 3)

$(x - 3) (x - 3)$ に書き換えます。

(x - 3) (x - 3) + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0

$(x - 3) (x - 3) + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

ステップ 2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って

(x - 3) (x - 3)

$(x - 3) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

x (x - 3) - 3 (x - 3) + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0

$x (x - 3) - 3 (x - 3) + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

ステップ 2.1.2.3

分配則を当てはめます。

x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

ステップ 2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

x

$x$ に

x

$x$ をかけます。

x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0

$x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

ステップ 2.1.3.1.2

- 3

$- 3$ を

x

$x$ の左に移動させます。

x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0

$x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

ステップ 2.1.3.1.3

- 3

$- 3$ に

- 3

$- 3$ をかけます。

x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

ステップ 2.1.3.2

- 3 x

$- 3 x$ から

3 x

$3 x$ を引きます。

x^{2} - 6 x + 9 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + 9 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

x^{2} - 6 x + 9 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + 9 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

ステップ 2.1.4

{(y - 5)}^{2}

${(y - 5)}^{2}$ を

(y - 5) (y - 5)

$(y - 5) (y - 5)$ に書き換えます。

x^{2} - 6 x + 9 + (y - 5) (y - 5) - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + 9 + (y - 5) (y - 5) - r^{2} = 0$

ステップ 2.1.5

分配法則（FOIL法）を使って

(y - 5) (y - 5)

$(y - 5) (y - 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

分配則を当てはめます。

x^{2} - 6 x + 9 + y (y - 5) - 5 (y - 5) - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + 9 + y (y - 5) - 5 (y - 5) - r^{2} = 0$

ステップ 2.1.5.2

分配則を当てはめます。

x^{2} - 6 x + 9 + y \cdot y + y \cdot - 5 - 5 (y - 5) - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + 9 + y \cdot y + y \cdot - 5 - 5 (y - 5) - r^{2} = 0$

ステップ 2.1.5.3

分配則を当てはめます。

x^{2} - 6 x + 9 + y \cdot y + y \cdot - 5 - 5 y - 5 \cdot - 5 - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + 9 + y \cdot y + y \cdot - 5 - 5 y - 5 \cdot - 5 - r^{2} = 0$

x^{2} - 6 x + 9 + y \cdot y + y \cdot - 5 - 5 y - 5 \cdot - 5 - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + 9 + y \cdot y + y \cdot - 5 - 5 y - 5 \cdot - 5 - r^{2} = 0$

ステップ 2.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1.1

y

$y$ に

y

$y$ をかけます。

x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} + y \cdot - 5 - 5 y - 5 \cdot - 5 - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} + y \cdot - 5 - 5 y - 5 \cdot - 5 - r^{2} = 0$

ステップ 2.1.6.1.2

- 5

$- 5$ を

y

$y$ の左に移動させます。

x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 5 \cdot y - 5 y - 5 \cdot - 5 - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 5 \cdot y - 5 y - 5 \cdot - 5 - r^{2} = 0$

ステップ 2.1.6.1.3

- 5

$- 5$ に

- 5

$- 5$ をかけます。

x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 5 y - 5 y + 25 - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 5 y - 5 y + 25 - r^{2} = 0$

x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 5 y - 5 y + 25 - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 5 y - 5 y + 25 - r^{2} = 0$

ステップ 2.1.6.2

- 5 y

$- 5 y$ から

5 y

$5 y$ を引きます。

x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 10 y + 25 - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 10 y + 25 - r^{2} = 0$

x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 10 y + 25 - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 10 y + 25 - r^{2} = 0$

x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 10 y + 25 - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 10 y + 25 - r^{2} = 0$

ステップ 2.2

9

$9$ と

25

$25$ をたし算します。

x^{2} - 6 x + y^{2} - 10 y + 34 - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + y^{2} - 10 y + 34 - r^{2} = 0$

x^{2} - 6 x + y^{2} - 10 y + 34 - r^{2} = 0

$x^{2} - 6 x + y^{2} - 10 y + 34 - r^{2} = 0$

ステップ 3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4

a = 1

$a = 1$ 、

b = - 6

$b = - 6$ 、および

c = y^{2} - 10 y + 34 - r^{2}

$c = y^{2} - 10 y + 34 - r^{2}$ を二次方程式の解の公式に代入し、

x

$x$ の値を求めます。

\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2}))}}{2 \cdot 1}

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2}))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

- 6

$- 6$ を

2

$2$ 乗します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2

- 4

$- 4$ に

1

$1$ をかけます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} - 4 (- 10 y) - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} - 4 (- 10 y) - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

- 10

$- 10$ に

- 4

$- 4$ をかけます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4.2

- 4

$- 4$ に

34

$34$ をかけます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4.3

- 1

$- 1$ に

- 4

$- 4$ をかけます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5

36

$36$ から

136

$136$ を引きます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6

因数分解した形で

- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}

$- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

4

$4$ を

- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}

$- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1.1

4

$4$ を

- 4 y^{2}

$- 4 y^{2}$ で因数分解します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.1.2

4

$4$ を

40 y

$40 y$ で因数分解します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.1.3

4

$4$ を

- 100

$- 100$ で因数分解します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.1.4

4

$4$ を

4 (- y^{2}) + 4 (10 y)

$4 (- y^{2}) + 4 (10 y)$ で因数分解します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.1.5

4

$4$ を

4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25

$4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25$ で因数分解します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.1.6

4

$4$ を

4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}

$4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}$ で因数分解します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25 + r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25 + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25 + r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25 + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2

y^{2} - 10 y + 25

$y^{2} - 10 y + 25$ を

{(y - 5)}^{2}

${(y - 5)}^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.2.1

25

$25$ を

5^{2}

$5^{2}$ に書き換えます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 10 y + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 10 y + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

10 y = 2 \cdot y \cdot 5

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

ステップ 5.1.6.2.3

多項式を書き換えます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2.4

a = y

$a = y$ と

b = 5

$b = 5$ ならば、完全平方3項式

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- {(y - 5)}^{2} + r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- {(y - 5)}^{2} + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- {(y - 5)}^{2} + r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- {(y - 5)}^{2} + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.3

- {(y - 5)}^{2}

$- {(y - 5)}^{2}$ と

r^{2}

$r^{2}$ を並べ替えます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r^{2} - {(y - 5)}^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r^{2} - {(y - 5)}^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

a = r

$a = r$ であり、

b = y - 5

$b = y - 5$ です。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - (y - 5)))}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - (y - 5)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.5.1

分配則を当てはめます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.5.2

- 1

$- 1$ に

- 5

$- 5$ をかけます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.7

4 (r + y - 5) (r - y + 5)

$4 (r + y - 5) (r - y + 5)$ を

2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))

$2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

4

$4$ を

2^{2}

$2^{2}$ に書き換えます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.7.2

括弧を付けます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2

2

$2$ に

1

$1$ をかけます。

x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$

ステップ 5.3

\frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$ を簡約します。

x = 3 \pm \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}

$x = 3 \pm \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

x = 3 \pm \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}

$x = 3 \pm \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

ステップ 6

式を簡約し、

\pm

$\pm$ の

+

$+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

- 6

$- 6$ を

2

$2$ 乗します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

- 4

$- 4$ に

1

$1$ をかけます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} - 4 (- 10 y) - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} - 4 (- 10 y) - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

- 10

$- 10$ に

- 4

$- 4$ をかけます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4.2

- 4

$- 4$ に

34

$34$ をかけます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4.3

- 1

$- 1$ に

- 4

$- 4$ をかけます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5

36

$36$ から

136

$136$ を引きます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6

因数分解した形で

- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}

$- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.6.1

4

$4$ を

- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}

$- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.6.1.1

4

$4$ を

- 4 y^{2}

$- 4 y^{2}$ で因数分解します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.1.2

4

$4$ を

40 y

$40 y$ で因数分解します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.1.3

4

$4$ を

- 100

$- 100$ で因数分解します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.1.4

4

$4$ を

4 (- y^{2}) + 4 (10 y)

$4 (- y^{2}) + 4 (10 y)$ で因数分解します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.1.5

4

$4$ を

4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25

$4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25$ で因数分解します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.1.6

4

$4$ を

4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}

$4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}$ で因数分解します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25 + r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25 + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25 + r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25 + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.2

y^{2} - 10 y + 25

$y^{2} - 10 y + 25$ を

{(y - 5)}^{2}

${(y - 5)}^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.6.2.1

25

$25$ を

5^{2}

$5^{2}$ に書き換えます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 10 y + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 10 y + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

10 y = 2 \cdot y \cdot 5

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

ステップ 6.1.6.2.3

多項式を書き換えます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.2.4

a = y

$a = y$ と

b = 5

$b = 5$ ならば、完全平方3項式

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- {(y - 5)}^{2} + r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- {(y - 5)}^{2} + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- {(y - 5)}^{2} + r^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- {(y - 5)}^{2} + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.3

- {(y - 5)}^{2}

$- {(y - 5)}^{2}$ と

r^{2}

$r^{2}$ を並べ替えます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r^{2} - {(y - 5)}^{2})}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r^{2} - {(y - 5)}^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

a = r

$a = r$ であり、

b = y - 5

$b = y - 5$ です。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - (y - 5)))}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - (y - 5)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.6.5.1

分配則を当てはめます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.5.2

- 1

$- 1$ に

- 5

$- 5$ をかけます。

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.7

4 (r + y - 5) (r - y + 5)

$4 (r + y - 5) (r - y + 5)$ を

2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))

$2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.7.1

$4$ を

$2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.7.2

括弧を付けます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に

$1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$

ステップ 6.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$ を簡約します。

$x = 3 \pm \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

ステップ 6.4

$\pm$ を

$+$ に変更します。

$x = 3 + \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

ステップ 7

式を簡約し、

$\pm$ の

$-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$- 6$ を

$2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2

$- 4$ に

$1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} - 4 (- 10 y) - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.1

$- 10$ に

$- 4$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.4.2

$- 4$ に

$34$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.4.3

$- 1$ に

$- 4$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5

$36$ から

$136$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6

因数分解した形で

$- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.1

$4$ を

$- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.1.1

$4$ を

$- 4 y^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.1.2

$4$ を

$40 y$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.1.3

$4$ を

$- 100$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.1.4

$4$ を

$4 (- y^{2}) + 4 (10 y)$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.1.5

$4$ を

$4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.1.6

$4$ を

$4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25 + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.2

$y^{2} - 10 y + 25$ を

${(y - 5)}^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.2.1

$25$ を

$5^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 10 y + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

ステップ 7.1.6.2.3

多項式を書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.2.4

$a = y$ と

$b = 5$ ならば、完全平方3項式

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- {(y - 5)}^{2} + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.3

$- {(y - 5)}^{2}$ と

$r^{2}$ を並べ替えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r^{2} - {(y - 5)}^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

$a = r$ であり、

$b = y - 5$ です。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - (y - 5)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.5.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.5.2

$- 1$ に

$- 5$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.7

$4 (r + y - 5) (r - y + 5)$ を

$2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.7.1

$4$ を

$2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.7.2

括弧を付けます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2

$2$ に

$1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$

ステップ 7.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$ を簡約します。

$x = 3 \pm \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

ステップ 7.4

$\pm$ を

$-$ に変更します。

$x = 3 - \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

ステップ 8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 3 + \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

$x = 3 - \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

有限数学 例

有限数学例