有限数学例

$f (x) = 5 \cos^{2} (π x)$

ステップ 1

$5 \cos^{2} (π x)$ が $0$ に等しいとします。

$5 \cos^{2} (π x) = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$5 \cos^{2} (π x) = 0$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$5 \cos^{2} (π x) = 0$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 \cos^{2} (π x)}{5} = \frac{0}{5}$

ステップ 2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cos^{2} (π x)}{5} = \frac{0}{5}$

ステップ 2.1.2.1.2

$\cos^{2} (π x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (π x) = \frac{0}{5}$

ステップ 2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$0$ を $5$ で割ります。

$\cos^{2} (π x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\cos (π x) = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\cos (π x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (π x) = \pm 0$

ステップ 2.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$\cos (π x) = 0$

ステップ 2.4

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$π x = \arccos (0)$

ステップ 2.5

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$π x = \frac{π}{2}$

ステップ 2.6

$π x = \frac{π}{2}$ の各項を $π$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.6.1

$π x = \frac{π}{2}$ の各項を $π$ で割ります。

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

ステップ 2.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

ステップ 2.6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

ステップ 2.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

ステップ 2.6.3.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.2.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

ステップ 2.6.3.2.2

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 2.7

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$π x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 2.8

$x$ について解きます。

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ステップ 2.8.1

簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$π x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.8.1.2

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$π x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.8.1.3

公分母の分子をまとめます。

$π x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 2.8.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$π x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 2.8.1.5

$4 π$ から $π$ を引きます。

$π x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.8.2

$π x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $π$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.8.2.1

$π x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $π$ で割ります。

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

ステップ 2.8.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

ステップ 2.8.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

ステップ 2.8.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

ステップ 2.8.2.3.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.3.2.1

$π$ を $3 π$ で因数分解します。

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

ステップ 2.8.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

ステップ 2.8.2.3.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 2.9

$\cos (π x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.9.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.9.2

周期の公式の $b$ を $π$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| π |}$

ステップ 2.9.3

$π$ は約 $3.14159265$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{π}$

ステップ 2.9.4

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.9.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{π}$

ステップ 2.9.4.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

ステップ 2.10

$\cos (π x)$ 関数の周期が $2$ なので、両方向で $2$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{1}{2} + 2 n, \frac{3}{2} + 2 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.11

答えをまとめます。

$x = \frac{1}{2} + 1 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

有限数学 例

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