有限数学例

$f (x) = 4 x^{3} - 25 x^{2} - 154 x + 40$

ステップ 1

$4 x^{3} - 25 x^{2} - 154 x + 40$ が $0$ に等しいとします。

$4 x^{3} - 25 x^{2} - 154 x + 40 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

有理根検定を用いて $4 x^{3} - 25 x^{2} - 154 x + 40$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

ステップ 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 40, \pm 10, \pm 20, \pm 2, \pm 5, \pm 4, \pm 2.5, \pm 1.25, \pm 8$

ステップ 2.1.1.3

$0.25$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $0.25$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.1.3.1

$0.25$ を多項式に代入します。

$4 \cdot {0.25}^{3} - 25 \cdot {0.25}^{2} - 154 \cdot 0.25 + 40$

ステップ 2.1.1.3.2

$0.25$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot 0.015625 - 25 \cdot {0.25}^{2} - 154 \cdot 0.25 + 40$

ステップ 2.1.1.3.3

$4$ に $0.015625$ をかけます。

$0.0625 - 25 \cdot {0.25}^{2} - 154 \cdot 0.25 + 40$

ステップ 2.1.1.3.4

$0.25$ を $2$ 乗します。

$0.0625 - 25 \cdot 0.0625 - 154 \cdot 0.25 + 40$

ステップ 2.1.1.3.5

$- 25$ に $0.0625$ をかけます。

$0.0625 - 1.5625 - 154 \cdot 0.25 + 40$

ステップ 2.1.1.3.6

$0.0625$ から $1.5625$ を引きます。

$- 1.5 - 154 \cdot 0.25 + 40$

ステップ 2.1.1.3.7

$- 154$ に $0.25$ をかけます。

$- 1.5 - 38.5 + 40$

ステップ 2.1.1.3.8

$- 1.5$ から $38.5$ を引きます。

$- 40 + 40$

ステップ 2.1.1.3.9

$- 40$ と $40$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.1.4

$0.25$ は既知の根なので、多項式を $4 x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{4 x^{3} - 25 x^{2} - 154 x + 40}{4 x - 1}$

ステップ 2.1.1.5

$4 x^{3} - 25 x^{2} - 154 x + 40$ を $4 x - 1$ で割ります。

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ステップ 2.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$4 x$

$1$

$4 x^{3}$

$25 x^{2}$

$154 x$

$40$

ステップ 2.1.1.5.2

被除数 $4 x^{3}$ の最高次項を除数 $4 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$

ステップ 2.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			+	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$

ステップ 2.1.1.5.7

被除数 $- 24 x^{2}$ の最高次項を除数 $4 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$

ステップ 2.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$6 x$

ステップ 2.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 24 x^{2} + 6 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$6 x$

ステップ 2.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$160 x$

ステップ 2.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$160 x$	+	$40$

ステップ 2.1.1.5.12

被除数 $- 160 x$ の最高次項を除数 $4 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$40$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$160 x$	+	$40$

ステップ 2.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$40$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$160 x$	+	$40$
							-	$160 x$	+	$40$

ステップ 2.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 160 x + 40$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$40$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$160 x$	+	$40$
							+	$160 x$	-	$40$

ステップ 2.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$40$
$4 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$25 x^{2}$	-	$154 x$	+	$40$
			-	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	-	$154 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$160 x$	+	$40$
							+	$160 x$	-	$40$
										$0$

ステップ 2.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 6 x - 40$

ステップ 2.1.1.6

$4 x^{3} - 25 x^{2} - 154 x + 40$ を因数の集合として書き換えます。

$(4 x - 1) (x^{2} - 6 x - 40) = 0$

ステップ 2.1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x - 40$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x - 40$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 40$ で、その和が $- 6$ です。

$- 10, 4$

ステップ 2.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(4 x - 1) ((x - 10) (x + 4)) = 0$

ステップ 2.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(4 x - 1) (x - 10) (x + 4) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$4 x - 1 = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2.3

$4 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$4 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$4 x - 1 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $4 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$4 x = 1$

ステップ 2.3.2.2

$4 x = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$4 x = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{4}$

ステップ 2.4

$x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$x - 10 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x = 10$

ステップ 2.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.6

最終解は $(4 x - 1) (x - 10) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{4}, 10, - 4$

ステップ 3

有限数学 例

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