有限数学例

$8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

有理根検定を用いて $8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

ステップ 1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25, \pm 12, \pm 1.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 0.75, \pm 0.375, \pm 4$

ステップ 1.1.3

$- 0.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 0.5$ は多項式の根です。

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ステップ 1.1.3.1

$- 0.5$ を多項式に代入します。

$8 {(- 0.5)}^{3} - 34 {(- 0.5)}^{2} + 5 \cdot - 0.5 + 12$

ステップ 1.1.3.2

$- 0.5$ を $3$ 乗します。

$8 \cdot - 0.125 - 34 {(- 0.5)}^{2} + 5 \cdot - 0.5 + 12$

ステップ 1.1.3.3

$8$ に $- 0.125$ をかけます。

$- 1 - 34 {(- 0.5)}^{2} + 5 \cdot - 0.5 + 12$

ステップ 1.1.3.4

$- 0.5$ を $2$ 乗します。

$- 1 - 34 \cdot 0.25 + 5 \cdot - 0.5 + 12$

ステップ 1.1.3.5

$- 34$ に $0.25$ をかけます。

$- 1 - 8.5 + 5 \cdot - 0.5 + 12$

ステップ 1.1.3.6

$- 1$ から $8.5$ を引きます。

$- 9.5 + 5 \cdot - 0.5 + 12$

ステップ 1.1.3.7

$5$ に $- 0.5$ をかけます。

$- 9.5 - 2.5 + 12$

ステップ 1.1.3.8

$- 9.5$ から $2.5$ を引きます。

$- 12 + 12$

ステップ 1.1.3.9

$- 12$ と $12$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.1.4

$- 0.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.5

$8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12$ を $2 x + 1$ で割ります。

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ステップ 1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$1$

$8 x^{3}$

$34 x^{2}$

$5 x$

$12$

ステップ 1.1.5.2

被除数 $8 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$4 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$

ステップ 1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			+	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

ステップ 1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $8 x^{3} + 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$

ステップ 1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$

ステップ 1.1.5.7

被除数 $- 38 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$

ステップ 1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$38 x^{2}$	-	$19 x$

ステップ 1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 38 x^{2} - 19 x$ の符号をすべて変更します。

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$

ステップ 1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$

ステップ 1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$

ステップ 1.1.5.12

被除数 $24 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$

ステップ 1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	+	$12$

ステップ 1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $24 x + 12$ の符号をすべて変更します。

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	-	$12$

ステップ 1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	-	$12$
										$0$

ステップ 1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$4 x^{2} - 19 x + 12$

ステップ 1.1.6

$8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 19 x + 12) = 0$

ステップ 1.2

群による因数分解。

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ステップ 1.2.1

群による因数分解。

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ステップ 1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot 12 = 48$ で和が $b = - 19$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.1.1.1

$- 19$ を $- 19 x$ で因数分解します。

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 19 x + 12) = 0$

ステップ 1.2.1.1.2

$- 19$ を $- 3$ プラス $- 16$ に書き換える

$(2 x + 1) (4 x^{2} + (- 3 - 16) x + 12) = 0$

ステップ 1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 3 x - 16 x + 12) = 0$

ステップ 1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x + 1) ((4 x^{2} - 3 x) - 16 x + 12) = 0$

ステップ 1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(2 x + 1) (x (4 x - 3) - 4 (4 x - 3)) = 0$

ステップ 1.2.1.3

最大公約数 $4 x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x + 1) ((4 x - 3) (x - 4)) = 0$

ステップ 1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x + 1) (4 x - 3) (x - 4) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 1 = 0$

$4 x - 3 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 3

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 3.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 4

$4 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$4 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$4 x - 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $4 x - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$4 x = 3$

ステップ 4.2.2

$4 x = 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$4 x = 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{4}$

ステップ 5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 6

最終解は $(2 x + 1) (4 x - 3) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 4$

ステップ 7

有限数学 例

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