有限数学例

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$

ステップ 1

$x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$- 3 x^{3} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 3 x$ を $- 3 x^{3} + 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$- 3 x$ を $- 3 x^{3}$ で因数分解します。

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$- 3 x$ を $3 x$ で因数分解します。

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 1 + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$- 3 x$ を $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 1)$ で因数分解します。

$- 3 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.1.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- 3 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.1.4

因数分解。

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ステップ 2.1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- 3 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.1.5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.1.6

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 5 u + 4 = 0$

ステップ 2.1.7

たすき掛けを利用して $u^{2} - 5 u + 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $4$ で、その和が $- 5$ です。

$- 4, - 1$

ステップ 2.1.7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (u - 4) (u - 1) = 0$

ステップ 2.1.8

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.1.9

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.1.10

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.1.11

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 2.1.12

因数分解。

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ステップ 2.1.12.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.12.2

不要な括弧を削除します。

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2.1.13

$(x + 1) (x - 1)$ を $- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.13.1

$(x + 1) (x - 1)$ を $- 3 x (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2.1.13.2

$(x + 1) (x - 1)$ を $(x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.1.13.3

$(x + 1) (x - 1)$ を $(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2))$ で因数分解します。

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 2.1.14

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 2.1.14.1

分配則を当てはめます。

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

ステップ 2.1.14.2

分配則を当てはめます。

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

ステップ 2.1.14.3

分配則を当てはめます。

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

ステップ 2.1.15

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.1.15.1

$x \cdot - 2$ と $2 x$ について因数を並べ替えます。

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

ステップ 2.1.15.2

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

ステップ 2.1.15.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

ステップ 2.1.16

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.16.1

$x$ に $x$ をかけます。

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

ステップ 2.1.16.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

ステップ 2.1.17

項を並べ替えます。

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

ステップ 2.1.18

因数分解。

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ステップ 2.1.18.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.18.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $- 3$ です。

$- 4, 1$

ステップ 2.1.18.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 1) (x - 1) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

ステップ 2.1.18.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) (x - 1) (x - 4) (x + 1) = 0$

ステップ 2.1.19

指数をまとめます。

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ステップ 2.1.19.1

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

ステップ 2.1.19.2

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

ステップ 2.1.19.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x - 4) = 0$

ステップ 2.1.19.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 2.3

${(x + 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

${(x + 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について ${(x + 1)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.6

最終解は ${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1, 4$

ステップ 3

有限数学 例

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