有限数学例

$\frac{\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 10 x + 25}}{\frac{3 x - 12}{x^{2} - 3 x - 10}}$

ステップ 1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

ステップ 3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 10 x + 5^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

ステップ 3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 3.3

多項式を書き換えます。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

ステップ 3.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

ステップ 4

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 10$ を因数分解します。

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ステップ 4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 10$ で、その和が $- 3$ です。

$- 5, 2$

ステップ 4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{(x - 5) (x + 2)}{3 x - 12}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$3$ を $3 x - 12$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{(x - 5) (x + 2)}{3 (x) - 12}$

ステップ 5.1.2

$3$ を $- 12$ で因数分解します。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{(x - 5) (x + 2)}{3 x + 3 \cdot - 4}$

ステップ 5.1.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{(x - 5) (x + 2)}{3 (x - 4)}$

ステップ 5.2

まとめる。

$\frac{(x + 4) (x - 4) ((x - 5) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} (3 (x - 4))}$

ステップ 5.3

$x - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 4) (x - 4) ((x - 5) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} (3 (x - 4))}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{(x + 4) ((x - 5) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} \cdot (3)}$

ステップ 5.4

$x - 5$ と ${(x - 5)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$x - 5$ を $(x + 4) ((x - 5) (x + 2))$ で因数分解します。

$\frac{(x - 5) ((x + 4) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} \cdot (3)}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1

$x - 5$ を ${(x - 5)}^{2} \cdot (3)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 5) ((x + 4) (x + 2))}{(x - 5) ((x - 5) \cdot 3)}$

ステップ 5.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 5) ((x + 4) (x + 2))}{(x - 5) ((x - 5) \cdot 3)}$

ステップ 5.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(x + 4) (x + 2)}{(x - 5) \cdot 3}$

ステップ 5.5

$3$ を $x - 5$ の左に移動させます。

$\frac{(x + 4) (x + 2)}{3 (x - 5)}$

有限数学 例

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