有限数学例

$\frac{7}{x^{2} - 9} + \frac{6}{x^{2} - 7 x + 12} - \frac{5}{x^{2} - x - 12}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{7}{x^{2} - 3^{2}} + \frac{6}{x^{2} - 7 x + 12} - \frac{5}{x^{2} - x - 12}$

ステップ 1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{x^{2} - 7 x + 12} - \frac{5}{x^{2} - x - 12}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 7 x + 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $- 7$ です。

$- 4, - 3$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x - 4) (x - 3)} - \frac{5}{x^{2} - x - 12}$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $- 1$ です。

$- 4, 3$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x - 4) (x - 3)} - \frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$

ステップ 2

公分母を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)}$ に $\frac{x - 4}{x - 4}$ をかけます。

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + \frac{6}{(x - 4) (x - 3)} - \frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$

ステップ 2.2

$\frac{7}{(x + 3) (x - 3)}$ に $\frac{x - 4}{x - 4}$ をかけます。

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6}{(x - 4) (x - 3)} - \frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$

ステップ 2.3

$\frac{6}{(x - 4) (x - 3)}$ に $\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6}{(x - 4) (x - 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$

ステップ 2.4

$\frac{6}{(x - 4) (x - 3)}$ に $\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6 (x + 3)}{(x - 4) (x - 3) (x + 3)} - \frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$

ステップ 2.5

$\frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$ に $\frac{x - 3}{x - 3}$ をかけます。

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6 (x + 3)}{(x - 4) (x - 3) (x + 3)} - (\frac{5}{(x - 4) (x + 3)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3})$

ステップ 2.6

$\frac{5}{(x - 4) (x + 3)}$ に $\frac{x - 3}{x - 3}$ をかけます。

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6 (x + 3)}{(x - 4) (x - 3) (x + 3)} - \frac{5 (x - 3)}{(x - 4) (x + 3) (x - 3)}$

ステップ 2.7

$(x - 4) (x - 3) (x + 3)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6 (x + 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} - \frac{5 (x - 3)}{(x - 4) (x + 3) (x - 3)}$

ステップ 2.8

$(x - 4) (x + 3) (x - 3)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{7 (x - 4)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} + \frac{6 (x + 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)} - \frac{5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

ステップ 3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7 (x - 4) + 6 (x + 3) - 5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{7 x + 7 \cdot - 4 + 6 (x + 3) - 5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

ステップ 4.2

$7$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{7 x - 28 + 6 (x + 3) - 5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{7 x - 28 + 6 x + 6 \cdot 3 - 5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

ステップ 4.4

$6$ に $3$ をかけます。

$\frac{7 x - 28 + 6 x + 18 - 5 (x - 3)}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

ステップ 4.5

分配則を当てはめます。

$\frac{7 x - 28 + 6 x + 18 - 5 x - 5 \cdot - 3}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

ステップ 4.6

$- 5$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{7 x - 28 + 6 x + 18 - 5 x + 15}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

ステップ 5

項を加えて簡約します。

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ステップ 5.1

$7 x$ と $6 x$ をたし算します。

$\frac{13 x - 28 + 18 - 5 x + 15}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

ステップ 5.2

$13 x$ から $5 x$ を引きます。

$\frac{8 x - 28 + 18 + 15}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

ステップ 5.3

数を加えて簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 28$ と $18$ をたし算します。

$\frac{8 x - 10 + 15}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

ステップ 5.3.2

$- 10$ と $15$ をたし算します。

$\frac{8 x + 5}{(x + 3) (x - 3) (x - 4)}$

有限数学 例

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