有限数学例

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$

ステップ 1

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$

ステップ 2

分数をまとめます。

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ステップ 2.1

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{(\sqrt{2} - \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}$

ステップ 2.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{10} - \sqrt{10} - {\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{2} + \sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

ステップ 3.2

$\sqrt{2} + \sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1} {(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1}}{- 3}$

ステップ 3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1 + 1}}{- 3}$

ステップ 3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{2}}{- 3}$

ステップ 4

${(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{2}$ を $(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ に書き換えます。

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

ステップ 5

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

ステップ 6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

ステップ 6.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

ステップ 6.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

ステップ 6.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

ステップ 6.1.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{2 + \sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

ステップ 6.1.6

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

ステップ 6.1.7

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{5 \cdot 2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

ステップ 6.1.8

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

ステップ 6.1.9

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5 \cdot 5}}{- 3}$

ステップ 6.1.10

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{25}}{- 3}$

ステップ 6.1.11

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5^{2}}}{- 3}$

ステップ 6.1.12

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + 5}{- 3}$

ステップ 6.2

$2$ と $5$ をたし算します。

$\frac{7 + \sqrt{10} + \sqrt{10}}{- 3}$

ステップ 6.3

$\sqrt{10}$ と $\sqrt{10}$ をたし算します。

$\frac{7 + 2 \sqrt{10}}{- 3}$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{7 + 2 \sqrt{10}}{3}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{7 + 2 \sqrt{10}}{3}$

10進法形式：

$- 4.44151844 \dots$

有限数学 例

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