有限数学例

$y = \sqrt{t^{2} - 2 t} - 3$

ステップ 1

$\sqrt{t^{2} - 2 t}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$t^{2} - 2 t \geq 0$

ステップ 2

$t$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$t^{2} - 2 t = 0$

ステップ 2.2

$t$ を $t^{2} - 2 t$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$t \cdot t - 2 t = 0$

ステップ 2.2.2

$t$ を $- 2 t$ で因数分解します。

$t \cdot t + t \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.2.3

$t$ を $t \cdot t + t \cdot - 2$ で因数分解します。

$t (t - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$t = 0$

$t - 2 = 0$

ステップ 2.4

$t$ が $0$ に等しいとします。

$t = 0$

ステップ 2.5

$t - 2$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$t - 2$ が $0$ に等しいとします。

$t - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$t = 2$

ステップ 2.6

最終解は $t (t - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = 0, 2$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$t < 0$

$0 < t < 2$

$t > 2$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.8.1

区間 $t < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.1.1

区間 $t < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$t = - 2$

ステップ 2.8.1.2

$t$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 \geq 0$

ステップ 2.8.1.3

左辺 $8$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.8.2

区間 $0 < t < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.2.1

区間 $0 < t < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$t = 1$

ステップ 2.8.2.2

$t$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 \geq 0$

ステップ 2.8.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.8.3

区間 $t > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.3.1

区間 $t > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$t = 4$

ステップ 2.8.3.2

$t$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{2} - 2 \cdot 4 \geq 0$

ステップ 2.8.3.3

左辺 $8$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$t < 0$ 真

$0 < t < 2$ 偽

$t > 2$ 真

$t < 0$ 真

$0 < t < 2$ 偽

$t > 2$ 真

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$t \leq 0$ または $t \geq 2$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $t$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0] \cup [2, \infty)$

集合の内包的記法：

${t | t \leq 0, t \geq 2}$

ステップ 4

有限数学 例

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