有限数学例

$\frac{\frac{2 a}{a + b} - \frac{b}{b - a} - \frac{b^{2}}{a^{2} - b^{2}}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

ステップ 1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = b$ です。

$\frac{\frac{2 a}{a + b} - \frac{b}{b - a} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

ステップ 2

$\frac{2 a}{a + b}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{b - a}{b - a}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 a}{a + b} \cdot \frac{b - a}{b - a} - \frac{b}{b - a} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

ステップ 3

$- \frac{b}{b - a}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a + b}{a + b}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 a}{a + b} \cdot \frac{b - a}{b - a} - \frac{b}{b - a} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(a + b) (b - a)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{2 a}{a + b}$ に $\frac{b - a}{b - a}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b}{b - a} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

ステップ 4.2

$\frac{b}{b - a}$ に $\frac{a + b}{a + b}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b (a + b)}{(b - a) (a + b)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

ステップ 4.3

$(b - a) (a + b)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

ステップ 6

$\frac{1}{a + b}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} \cdot \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

ステップ 7

$\frac{a}{a^{2} - b^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a + b}{a + b}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} \cdot \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}} \cdot \frac{a + b}{a + b}}$

ステップ 8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(a + b) (a^{2} - b^{2})$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{a + b}$ に $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}} \cdot \frac{a + b}{a + b}}$

ステップ 8.2

$\frac{a}{a^{2} - b^{2}}$ に $\frac{a + b}{a + b}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})} + \frac{a (a + b)}{(a^{2} - b^{2}) (a + b)}}$

ステップ 8.3

$(a^{2} - b^{2}) (a + b)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})} + \frac{a (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2} + a (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

ステップ 10

因数分解した形で $\frac{a^{2} - b^{2} + a (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}$ を書き換えます。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2} + a \cdot a + a b}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

ステップ 10.2

$a$ に $a$ をかけます。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2} + a^{2} + a b}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

ステップ 10.3

$a^{2}$ と $a^{2}$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - b^{2} + a b}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

ステップ 10.4

群による因数分解。

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ステップ 10.4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 10.4.1.1

$- b^{2}$ と $a b$ を並べ替えます。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} + a b - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

ステップ 10.4.1.2

$1$ を $a b$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} + 1 (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

ステップ 10.4.1.3

$1$ を $- 1$ プラス $2$ に書き換える

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} + (- 1 + 2) (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

ステップ 10.4.1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - 1 (a b) + 2 (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

ステップ 10.4.1.5

不要な括弧を削除します。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - 1 a b + 2 (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

ステップ 10.4.1.6

不要な括弧を削除します。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - 1 a b + 2 a b - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

ステップ 10.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 10.4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a^{2} - 1 a b) + 2 a b - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

ステップ 10.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a (2 a - b) + b (2 a - b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

ステップ 10.4.3

最大公約数 $2 a - b$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

ステップ 10.5

因数分解。

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ステップ 10.5.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = b$ です。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) ((a + b) (a - b))}}$

ステップ 10.5.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a + b) (a - b)}}$

ステップ 10.6

指数をまとめます。

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ステップ 10.6.1

$a + b$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{1} (a + b) (a - b)}}$

ステップ 10.6.2

$a + b$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} (a - b)}}$

ステップ 10.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{1 + 1} (a - b)}}$

ステップ 10.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2} (a - b)}}$

ステップ 10.7

今日数因数で約分することで式 $\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2} (a - b)}$ を約分します。

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ステップ 10.7.1

$a + b$ を $(2 a - b) (a + b)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(a + b) (2 a - b)}{{(a + b)}^{2} (a - b)}}$

ステップ 10.7.2

$a + b$ を ${(a + b)}^{2} (a - b)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(a + b) (2 a - b)}{(a + b) ((a + b) (a - b))}}$

ステップ 10.7.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(a + b) (2 a - b)}{(a + b) ((a + b) (a - b))}}$

ステップ 10.7.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a - b}{(a + b) (a - b)}}$

有限数学 例

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