有限数学例

$4^{x} + 7 \cdot 2^{x} = 44$

ステップ 1

方程式の両辺から $44$ を引きます。

$4^{x} + 7 \cdot 2^{x} - 44 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$4^{x}$ を ${(2^{2})}^{x}$ に書き換えます。

${(2^{2})}^{x} + 7 \cdot 2^{x} - 44 = 0$

ステップ 2.2

${(2^{2})}^{x}$ を ${(2^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(2^{x})}^{2} + 7 \cdot 2^{x} - 44 = 0$

ステップ 2.3

$u = 2^{x}$ とします。 $u$ を $2^{x}$ に代入します。

$u^{2} + 7 u - 44 = 0$

ステップ 2.4

たすき掛けを利用して $u^{2} + 7 u - 44$ を因数分解します。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 44$ で、その和が $7$ です。

$- 4, 11$

ステップ 2.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 4) (u + 11) = 0$

$(u - 4) (u + 11) = 0$

ステップ 2.5

$u$ のすべての発生を $2^{x}$ で置き換えます。

$(2^{x} - 4) (2^{x} + 11) = 0$

$(2^{x} - 4) (2^{x} + 11) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2^{x} - 4 = 0$

$2^{x} + 11 = 0$

ステップ 4

$2^{x} - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$2^{x} - 4$ が $0$ に等しいとします。

$2^{x} - 4 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $2^{x} - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$2^{x} = 4$

ステップ 4.2.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$2^{x} = 2^{2}$

ステップ 4.2.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 2$

$x = 2$

$x = 2$

ステップ 5

$2^{x} + 11$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$2^{x} + 11$ が $0$ に等しいとします。

$2^{x} + 11 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $2^{x} + 11 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $11$ を引きます。

$2^{x} = - 11$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{x}) = \ln (- 11)$

ステップ 5.2.3

$\ln (- 11)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.2.4

$2^{x} = - 11$ の解はありません

解がありません

解がありません

解がありません

ステップ 6

最終解は $(2^{x} - 4) (2^{x} + 11) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2$

ステップ 7

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$