有限数学例

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

ステップ 1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

${(1 + 4 x)}^{2}, 4$

ステップ 2.2

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 2.3

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 2.4

$4$ には $2$ と $2$ の因数があります。

$2 \cdot 2$

ステップ 2.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4$

ステップ 2.6

$1 + 4 x$ の因数は $(1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$ です。これは $1 + 4 x$ を $2$ 倍したものです。

$(1 + 4 x) = (1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$

$(1 + 4 x)$ は $2$ 回発生します。

ステップ 2.7

${(1 + 4 x)}^{2}$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

${(1 + 4 x)}^{2}$

ステップ 2.8

ある数の最小公倍数 $LCM$ はその数が因数分解された最小の数です。

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$

ステップ 3

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ の各項に $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ の各項に $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ を掛けます。

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(1 + 4 x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

ステップ 3.2.1.2

${(1 + 4 x)}^{2}$ を $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

ステップ 3.2.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

ステップ 3.2.1.4

式を書き換えます。

$- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

ステップ 3.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$4$ を $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ で因数分解します。

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 ({(1 + 4 x)}^{2}))$

ステップ 3.3.1.2

共通因数を約分します。

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

ステップ 3.3.1.3

式を書き換えます。

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$5 {(1 + 4 x)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

${(1 + 4 x)}^{2}$ を $(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ に書き換えます。

$- 4 x^{2} = 5 ((1 + 4 x) (1 + 4 x))$

ステップ 4.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ を展開します。

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ステップ 4.1.2.1

分配則を当てはめます。

$- 4 x^{2} = 5 (1 (1 + 4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

ステップ 4.1.2.2

分配則を当てはめます。

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

ステップ 4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

ステップ 4.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

ステップ 4.1.3.1.2

$4 x$ に $1$ をかけます。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

ステップ 4.1.3.1.3

$4$ に $1$ をかけます。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 x (4 x))$

ステップ 4.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x \cdot x)$

ステップ 4.1.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x))$

ステップ 4.1.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})$

ステップ 4.1.3.1.6

$4$ に $4$ をかけます。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})$

ステップ 4.1.3.2

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})$

ステップ 4.1.4

分配則を当てはめます。

$- 4 x^{2} = 5 \cdot 1 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

ステップ 4.1.5

簡約します。

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ステップ 4.1.5.1

$5$ に $1$ をかけます。

$- 4 x^{2} = 5 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

ステップ 4.1.5.2

$8$ に $5$ をかけます。

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 5 (16 x^{2})$

ステップ 4.1.5.3

$16$ に $5$ をかけます。

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}$

ステップ 4.2

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$5 + 40 x + 80 x^{2} = - 4 x^{2}$

ステップ 4.3

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $4 x^{2}$ を足します。

$5 + 40 x + 80 x^{2} + 4 x^{2} = 0$

ステップ 4.3.2

$80 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$5 + 40 x + 84 x^{2} = 0$

ステップ 4.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.5

$a = 84$ 、 $b = 40$ 、および $c = 5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (84 \cdot 5)}}{2 \cdot 84}$

ステップ 4.6

簡約します。

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ステップ 4.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1.1

$40$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 84 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

ステップ 4.6.1.2

$- 4 \cdot 84 \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 4.6.1.2.1

$- 4$ に $84$ をかけます。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 336 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

ステップ 4.6.1.2.2

$- 336$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}$

ステップ 4.6.1.3

$1600$ から $1680$ を引きます。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 84}$

ステップ 4.6.1.4

$- 80$ を $- 1 (80)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 84}$

ステップ 4.6.1.5

$\sqrt{- 1 (80)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

ステップ 4.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

ステップ 4.6.1.7

$80$ を $4^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 4.6.1.7.1

$16$ を $80$ で因数分解します。

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 84}$

ステップ 4.6.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

ステップ 4.6.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 84}$

ステップ 4.6.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}$

ステップ 4.6.2

$2$ に $84$ をかけます。

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$

ステップ 4.6.3

$\frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$ を簡約します。

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

ステップ 4.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{10 - i \sqrt{5}}{42}, - \frac{10 + i \sqrt{5}}{42}$

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

ステップ 5

有限数学 例

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