有限数学例

$f (x) = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

ステップ 1

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$10 x^{3} - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

ステップ 2.1.2

$10 x$ を $10 x^{3} - 10 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$10 x$ を $10 x^{3}$ で因数分解します。

$10 x (x^{2}) - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$10 x$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$10 x$ を $10 x (x^{2}) + 10 x (- 1)$ で因数分解します。

$10 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

ステップ 2.1.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$10 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

ステップ 2.1.4

因数分解。

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ステップ 2.1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$10 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

ステップ 2.1.4.2

不要な括弧を削除します。

$10 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

ステップ 2.1.5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$10 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} + 11 = 0$

ステップ 2.1.6

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$10 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 12 u + 11 = 0$

ステップ 2.1.7

たすき掛けを利用して $u^{2} - 12 u + 11$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $11$ で、その和が $- 12$ です。

$- 11, - 1$

ステップ 2.1.7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$10 x (x + 1) (x - 1) + (u - 11) (u - 1) = 0$

ステップ 2.1.8

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.1.9

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 2.1.10

因数分解。

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ステップ 2.1.10.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.10.2

不要な括弧を削除します。

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2.1.11

$(x + 1) (x - 1)$ を $10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.11.1

$(x + 1) (x - 1)$ を $10 x (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2.1.11.2

$(x + 1) (x - 1)$ を $(x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11) = 0$

ステップ 2.1.11.3

$(x + 1) (x - 1)$ を $(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x - 1) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

ステップ 2.1.12

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x + 1) (x - 1) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

ステップ 2.1.13

たすき掛けを利用して $10 u + u^{2} - 11$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.13.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 11$ で、その和が $10$ です。

$- 1, 11$

ステップ 2.1.13.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 1) (x - 1) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

ステップ 2.1.14

因数分解。

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ステップ 2.1.14.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x + 1) (x - 1) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

ステップ 2.1.14.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) (x - 1) (x - 1) (x + 11) = 0$

ステップ 2.1.15

指数をまとめます。

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ステップ 2.1.15.1

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

ステップ 2.1.15.2

$x - 1$ を $1$ 乗します。

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

ステップ 2.1.15.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 11) = 0$

ステップ 2.1.15.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 11 = 0$

ステップ 2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.4

${(x - 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

${(x - 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について ${(x - 1)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$x + 11$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 11$ が $0$ に等しいとします。

$x + 11 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $11$ を引きます。

$x = - 11$

ステップ 2.6

最終解は $(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1, - 11$

ステップ 3

有限数学 例

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