有限数学例

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 2 x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = - 2 x$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{{(x - 1)}^{2}}}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ を ${(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$ に書き換えます。

${({(x - 1)}^{\frac{2}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

ステップ 3.2

$2$ を $2$ で割ります。

${({(x - 1)}^{1})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${({(x - 1)}^{1})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x - 1)}^{1 \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

ステップ 3.3.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

${(x - 1)}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

ステップ 3.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

${(- 2 x)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

積の法則を $- 2 x$ に当てはめます。

${(x - 1)}^{2} = {(- 2)}^{2} x^{2}$

ステップ 3.4.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

${(x - 1)}^{2} = 4 x^{2}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.1.1

方程式の両辺から $4 x^{2}$ を引きます。

${(x - 1)}^{2} - 4 x^{2} = 0$

ステップ 4.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$(x - 1) (x - 1) - 4 x^{2} = 0$

ステップ 4.1.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 4.1.2.2.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 1) - 1 (x - 1) - 4 x^{2} = 0$

ステップ 4.1.2.2.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - 4 x^{2} = 0$

ステップ 4.1.2.2.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

ステップ 4.1.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

ステップ 4.1.2.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

ステップ 4.1.2.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

ステップ 4.1.2.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

ステップ 4.1.2.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} - x - x + 1 - 4 x^{2} = 0$

ステップ 4.1.2.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 x^{2} = 0$

ステップ 4.1.3

$x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$- 3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ を $- 3 x^{2} - 2 x + 1$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- (3 x^{2}) - 2 x + 1 = 0$

ステップ 4.2.1.2

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$- (3 x^{2}) - (2 x) + 1 = 0$

ステップ 4.2.1.3

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$- (3 x^{2}) - (2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

ステップ 4.2.1.4

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - (2 x)$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} + 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

ステップ 4.2.1.5

$- 1$ を $- (3 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

ステップ 4.2.2

因数分解。

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ステップ 4.2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 4.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.2.2.1.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} + 2 (x) - 1) = 0$

ステップ 4.2.2.1.1.2

$2$ を $- 1$ プラス $3$ に書き換える

$- (3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1) = 0$

ステップ 4.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- (3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1) = 0$

ステップ 4.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- ((3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1) = 0$

ステップ 4.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- (x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1)) = 0$

ステップ 4.2.2.1.3

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- ((3 x - 1) (x + 1)) = 0$

ステップ 4.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (3 x - 1) (x + 1) = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4.4

$3 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.4.1

$3 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 4.4.2

$x$ について $3 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 4.4.2.2

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.4.2.2.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 4.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 4.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 4.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4.6

最終解は $- (3 x - 1) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{3}, - 1$

ステップ 5

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 2 x = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = - 1$

ステップ 6

有限数学 例

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