有限数学例

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $15$ を足します。

$2 x^{2} + 7 x = 15$

ステップ 2

$2 x^{2} + 7 x = 15$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$2 x^{2} + 7 x = 15$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{7 x}{2} = \frac{15}{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{7 x}{2} = \frac{15}{2}$

ステップ 2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{7 x}{2} = \frac{15}{2}$

ステップ 3

式の左辺に3項式の2乗を作るために、 $b$ の半分の2乗に等しい値を求めます。

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{7}{4})}^{2}$

ステップ 4

方程式の各辺に項を加えます。

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

ステップ 5

方程式を簡約します。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

積の法則を $\frac{7}{4}$ に当てはめます。

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{7^{2}}{4^{2}} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

ステップ 5.1.1.2

$7$ を $2$ 乗します。

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{4^{2}} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

ステップ 5.1.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

積の法則を $\frac{7}{4}$ に当てはめます。

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + \frac{7^{2}}{4^{2}}$

ステップ 5.2.1.1.2

$7$ を $2$ 乗します。

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + \frac{49}{4^{2}}$

ステップ 5.2.1.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + \frac{49}{16}$

ステップ 5.2.1.2

$\frac{15}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{49}{16}$

ステップ 5.2.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.2.1.3.1

$\frac{15}{2}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{49}{16}$

ステップ 5.2.1.3.2

$2$ に $8$ をかけます。

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15 \cdot 8}{16} + \frac{49}{16}$

ステップ 5.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15 \cdot 8 + 49}{16}$

ステップ 5.2.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1.5.1

$15$ に $8$ をかけます。

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{120 + 49}{16}$

ステップ 5.2.1.5.2

$120$ と $49$ をたし算します。

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{169}{16}$

ステップ 6

${(x + \frac{7}{4})}^{2}$ に完全3項平方を因数分解します。

${(x + \frac{7}{4})}^{2} = \frac{169}{16}$

ステップ 7

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{7}{4} = \pm \sqrt{\frac{169}{16}}$

ステップ 7.2

$\pm \sqrt{\frac{169}{16}}$ を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\sqrt{\frac{169}{16}}$ を $\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}}$ に書き換えます。

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}}$

ステップ 7.2.2

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$169$ を $13^{2}$ に書き換えます。

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{\sqrt{13^{2}}}{\sqrt{16}}$

ステップ 7.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{13}{\sqrt{16}}$

ステップ 7.2.3

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{13}{\sqrt{4^{2}}}$

ステップ 7.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{13}{4}$

ステップ 7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x + \frac{7}{4} = \frac{13}{4}$

ステップ 7.3.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.3.2.1

方程式の両辺から $\frac{7}{4}$ を引きます。

$x = \frac{13}{4} - \frac{7}{4}$

ステップ 7.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{13 - 7}{4}$

ステップ 7.3.2.3

$13$ から $7$ を引きます。

$x = \frac{6}{4}$

ステップ 7.3.2.4

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.2.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (3)}{4}$

ステップ 7.3.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.2.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.2.4.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 7.3.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x + \frac{7}{4} = - \frac{13}{4}$

ステップ 7.3.4

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.3.4.1

方程式の両辺から $\frac{7}{4}$ を引きます。

$x = - \frac{13}{4} - \frac{7}{4}$

ステップ 7.3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{- 13 - 7}{4}$

ステップ 7.3.4.3

$- 13$ から $7$ を引きます。

$x = \frac{- 20}{4}$

ステップ 7.3.4.4

$- 20$ を $4$ で割ります。

$x = - 5$

ステップ 7.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{3}{2}, - 5$

有限数学 例

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