有限数学例

$x^{2} + {(y - \sqrt[3]{x^{2}})}^{2} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

${(y - \sqrt[3]{x^{2}})}^{2} = 1 - x^{2}$

ステップ 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \pm \sqrt{1 - x^{2}}$

ステップ 3

$\pm \sqrt{1 - x^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \pm \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

ステップ 3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \pm \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $\sqrt[3]{x^{2}}$ を足します。

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

ステップ 4.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 4.4

方程式の両辺に $\sqrt[3]{x^{2}}$ を足します。

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

ステップ 4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

ステップ 5

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

ステップ 6.2

$1 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$1 + x$ が $0$ に等しいとします。

$1 + x = 0$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 6.3

$1 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$1 - x$ が $0$ に等しいとします。

$1 - x = 0$

ステップ 6.3.2

$x$ について $1 - x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 6.3.2.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 6.4

最終解は $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1$

ステップ 6.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 6.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 6.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

ステップ 6.6.1.3

左辺 $- 15$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.6.2

区間 $- 1 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1

区間 $- 1 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

ステップ 6.6.2.3

左辺 $1$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.6.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 6.6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

ステップ 6.6.3.3

左辺 $- 15$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

ステップ 6.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 \leq x \leq 1$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 1, 1]$

集合の内包的記法：

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

ステップ 8

有限数学 例

有限数学例