有限数学例

$x^{2} - y^{2} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

ステップ 2

$- y^{2} = 1 - x^{2}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$- y^{2} = 1 - x^{2}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

ステップ 2.2.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

ステップ 2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

ステップ 2.3.1.3

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

ステップ 3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

式を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

ステップ 4.1.2

$- 1^{2}$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 6

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 7.2

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 7.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 7.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 7.4

最終解は $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1$

ステップ 7.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 7.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.6.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.6.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 7.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

ステップ 7.6.1.3

左辺 $15$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.6.2

区間 $- 1 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.6.2.1

区間 $- 1 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

ステップ 7.6.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.6.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.6.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 7.6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

ステップ 7.6.3.3

左辺 $15$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 7.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 1$ または $x \geq 1$

ステップ 8

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - 1, x \geq 1}$

ステップ 9

有限数学 例

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