有限数学例

$- \sqrt{x^{2} + 8 x + 32}$

ステップ 1

$\sqrt{x^{2} + 8 x + 32}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} + 8 x + 32 \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + 8 x + 32 = 0$

ステップ 2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3

$a = 1$ 、 $b = 8$ 、および $c = 32$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 32)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 32$ を掛けます。

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ステップ 2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.2.2

$- 4$ に $32$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 128}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.3

$64$ から $128$ を引きます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.4

$- 64$ を $- 1 (64)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (64)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.7

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.9

$8$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2}$

ステップ 2.4.3

$\frac{- 8 \pm 8 i}{2}$ を簡約します。

$x = - 4 \pm 4 i$

ステップ 2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 32$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2.2

$- 4$ に $32$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 128}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.3

$64$ から $128$ を引きます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.4

$- 64$ を $- 1 (64)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (64)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.7

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.9

$8$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2}$

ステップ 2.5.3

$\frac{- 8 \pm 8 i}{2}$ を簡約します。

$x = - 4 \pm 4 i$

ステップ 2.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 4 + 4 i$

ステップ 2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 32$ を掛けます。

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ステップ 2.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.2.2

$- 4$ に $32$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 128}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.3

$64$ から $128$ を引きます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.4

$- 64$ を $- 1 (64)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.5

$\sqrt{- 1 (64)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.7

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.9

$8$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2}$

ステップ 2.6.3

$\frac{- 8 \pm 8 i}{2}$ を簡約します。

$x = - 4 \pm 4 i$

ステップ 2.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 4 - 4 i$

ステップ 2.7

首位係数を求めます。

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ステップ 2.7.1

多項式の最高次の項は最高次をもつ項です。

$x^{2}$

ステップ 2.7.2

多項式の首位係数は最高次の項の係数です。

$1$

ステップ 2.8

実x切片がなく、首位係数が正なので、放物線は上に開で $x^{2} + 8 x + 32$ は常に $0$ より大きくなります。

すべての実数

ステップ 3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

有限数学 例

有限数学例