有限数学例

$\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$

ステップ 1

$\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$

ステップ 2

$A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (2 A) = 0$

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

ステップ 2.2

$\sin (2 A)$ を $0$ に等しくし、 $A$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sin (2 A)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (2 A) = 0$

ステップ 2.2.2

$A$ について $\sin (2 A) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $A$ を取り出します。

$2 A = \arcsin (0)$

ステップ 2.2.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 A = 0$

ステップ 2.2.2.3

$2 A = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.1

$2 A = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.2.3.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$A = 0$

ステップ 2.2.2.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 A = 180 - 0$

ステップ 2.2.2.5

$A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.5.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 A = 180 + 0$

ステップ 2.2.2.5.1.2

$180$ と $0$ をたし算します。

$2 A = 180$

ステップ 2.2.2.5.2

$2 A = 180$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.5.2.1

$2 A = 180$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

ステップ 2.2.2.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

ステップ 2.2.2.5.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{180}{2}$

ステップ 2.2.2.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.5.2.3.1

$180$ を $2$ で割ります。

$A = 90$

ステップ 2.2.2.6

$\sin (2 A)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 2.2.2.6.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 2 |}$

ステップ 2.2.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{360}{2}$

ステップ 2.2.2.6.4

$360$ を $2$ で割ります。

$180$

ステップ 2.2.2.7

$\sin (2 A)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$A = 180 n, 90 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.3

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ を $0$ に等しくし、 $A$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

ステップ 2.3.2

$A$ について $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\tan (45) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$\tan (45)$ の厳密値は $1$ です。

$1 - 2 \sin^{2} (A) = 0$

ステップ 2.3.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$

ステップ 2.3.2.3

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 2.3.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 2.3.2.3.2.1.2

$\sin^{2} (A)$ を $1$ で割ります。

$\sin^{2} (A) = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 2.3.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin^{2} (A) = \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (A) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.2.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.5.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.3.2.5.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.3.2.5.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.3.2.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.3.2.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 2.3.2.5.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 2.3.2.5.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 2.3.2.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.3.2.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.3.2.5.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.2.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.3.2.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.2.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.2.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 2.3.2.5.4.6.5

指数を求めます。

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.3.2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.3.2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.3.2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.3.2.7

各解を求め、 $A$ を解きます。

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.3.2.8

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $A$ について解きます。

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ステップ 2.3.2.8.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $A$ を取り出します。

$A = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.3.2.8.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.8.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $45$ です。

$A = 45$

ステップ 2.3.2.8.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$A = 180 - 45$

ステップ 2.3.2.8.4

$180$ から $45$ を引きます。

$A = 135$

ステップ 2.3.2.8.5

$\sin (A)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.8.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 2.3.2.8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 2.3.2.8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 2.3.2.8.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 2.3.2.8.6

$\sin (A)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.3.2.9

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.9.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $A$ を取り出します。

$A = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.3.2.9.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.9.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $- 45$ です。

$A = - 45$

ステップ 2.3.2.9.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $180$ に足し、第三象限で解を求めます。

$A = 360 + 45 + 180$

ステップ 2.3.2.9.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 2.3.2.9.4.1

$360 + 45 + 180 °$ から $360 °$ を引きます。

$A = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

ステップ 2.3.2.9.4.2

$225 °$ の結果の角度は正で、 $360 °$ より小さく、 $360 + 45 + 180$ と隣接します。

$A = 225 °$

ステップ 2.3.2.9.5

$\sin (A)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.9.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 2.3.2.9.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 2.3.2.9.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 2.3.2.9.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 2.3.2.9.6

$360$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.9.6.1

$360$ を $- 45$ に足し、正の角を求めます。

$- 45 + 360$

ステップ 2.3.2.9.6.2

$360$ から $45$ を引きます。

$315$

ステップ 2.3.2.9.6.3

新しい角をリストします。

$A = 315$

ステップ 2.3.2.9.7

$\sin (A)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$A = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.3.2.10

すべての解をまとめます。

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.3.2.11

答えをまとめます。

$A = 45 + 90 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.4

最終解は $\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$ を真にするすべての値です。

$A = 180 n, 90 + 180 n, 45 + 90 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5

答えをまとめます。

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ステップ 2.5.1

$90 + 180 n$ と $90 n$ を $180 n$ にまとめます。

$A = 90 n, 45 + 90 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5.2

答えをまとめます。

$A = 45 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $A$ のすべての値です。

集合の内包的記法：

${A | A \neq 45 n}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

有限数学 例

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