有限数学例

${(x - 3)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 9$

ステップ 1

方程式の両辺から ${(x - 3)}^{2}$ を引きます。

${(y - 6)}^{2} = 9 - {(x - 3)}^{2}$

ステップ 2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y - 6 = \pm \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 3

$\pm \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y - 6 = \pm \sqrt{3^{2} - {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3$ であり、 $b = x - 3$ です。

$y - 6 = \pm \sqrt{(3 + x - 3) (3 - (x - 3))}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$3$ から $3$ を引きます。

$y - 6 = \pm \sqrt{(x + 0) (3 - (x - 3))}$

ステップ 3.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - (x - 3))}$

ステップ 3.3.3

分配則を当てはめます。

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - x - - 3)}$

ステップ 3.3.4

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - x + 3)}$

ステップ 3.3.5

$3$ と $3$ をたし算します。

$y - 6 = \pm \sqrt{x (- x + 6)}$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y - 6 = \sqrt{x (- x + 6)}$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

ステップ 4.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y - 6 = - \sqrt{x (- x + 6)}$

ステップ 4.4

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

ステップ 4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

ステップ 5

$\sqrt{x (- x + 6)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x (- x + 6) \geq 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$- x + 6 = 0$

ステップ 6.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.3

$- x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.3.1

$- x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$- x + 6 = 0$

ステップ 6.3.2

$x$ について $- x + 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.3.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$- x = - 6$

ステップ 6.3.2.2

$- x = - 6$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.2.2.1

$- x = - 6$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.2.3.1

$- 6$ を $- 1$ で割ります。

$x = 6$

ステップ 6.4

最終解は $x (- x + 6) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 6$

ステップ 6.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

ステップ 6.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.6.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.6.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 6.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

ステップ 6.6.1.3

左辺 $- 16$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.6.2

区間 $0 < x < 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.6.2.1

区間 $0 < x < 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 6.6.2.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

ステップ 6.6.2.3

左辺 $9$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.6.3

区間 $x > 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.6.3.1

区間 $x > 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 6.6.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

ステップ 6.6.3.3

左辺 $- 16$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 6$ 真

$x > 6$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < 6$ 真

$x > 6$ 偽

ステップ 6.7

解はすべての真の区間からなります。

$0 \leq x \leq 6$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[0, 6]$

集合の内包的記法：

${x | 0 \leq x \leq 6}$

ステップ 8

有限数学 例

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