有限数学例

$\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1) - x$

ステップ 1

$\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1 > 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} - 1 > 0$

ステップ 2.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 > 0$

ステップ 2.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} > 0$

ステップ 2.1.3

項を簡約します。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{- x}{x} > 0$

ステップ 2.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + 1) (x - 1) - x}{x} > 0$

ステップ 2.1.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 2.1.4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

ステップ 2.1.4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

ステップ 2.1.4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

ステップ 2.1.4.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.4.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

ステップ 2.1.4.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

ステップ 2.1.4.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

ステップ 2.1.4.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

ステップ 2.1.4.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - x + x - 1 - x}{x} > 0$

ステップ 2.1.4.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 0 - 1 - x}{x} > 0$

ステップ 2.1.4.2.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 1 - x}{x} > 0$

ステップ 2.1.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} - x - 1}{x} > 0$

ステップ 2.2

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

ステップ 2.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4

$a = 1$ 、 $b = - 1$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.6.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.7.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.9

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.10

解をまとめます。

$x = 0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.11

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.11.1

$\frac{x^{2} - 1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2.11.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 2.12

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

ステップ 2.13

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.13.1

区間 $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.13.1.1

区間 $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 2.13.1.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1}{- 3} - 1 > 0$

ステップ 2.13.1.3

左辺 $- 3.\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.13.2

区間 $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.13.2.1

区間 $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.31$

ステップ 2.13.2.2

$x$ を元の不等式の $- 0.31$ で置き換えます。

$\frac{{(- 0.31)}^{2} - 1}{- 0.31} - 1 > 0$

ステップ 2.13.2.3

左辺 $1.91580645$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.13.3

区間 $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.13.3.1

区間 $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 2.13.3.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\frac{{(1)}^{2} - 1}{1} - 1 > 0$

ステップ 2.13.3.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.13.4

区間 $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.13.4.1

区間 $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 2.13.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} - 1 > 0$

ステップ 2.13.4.3

左辺 $2.75$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.13.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 偽

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ 真

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 偽

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 真

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 偽

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ 真

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 偽

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 真

ステップ 2.14

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ または $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

ステップ 3

$\frac{x^{2} - 1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0, x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

ステップ 5

有限数学 例

有限数学例