有限数学例

$2 p - 2 \sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$

ステップ 1

$\sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 \geq 0$

ステップ 2

$p$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4$ を $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$4$ を $4 p^{3}$ で因数分解します。

$4 (p^{3}) + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$4$ を $16 p^{2}$ で因数分解します。

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 28 p - 48 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$4$ を $28 p$ で因数分解します。

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) - 48 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$4$ を $- 48$ で因数分解します。

$4 p^{3} + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$4$ を $4 p^{3} + 4 (4 p^{2})$ で因数分解します。

$4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

ステップ 2.2.1.6

$4$ を $4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p)$ で因数分解します。

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

ステップ 2.2.1.7

$4$ を $4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12$ で因数分解します。

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

有理根検定を用いて $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

ステップ 2.2.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

ステップ 2.2.2.1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.2.2.1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

ステップ 2.2.2.1.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

ステップ 2.2.2.1.3.3

$1$ を $2$ 乗します。

$1 + 4 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 12$

ステップ 2.2.2.1.3.4

$4$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 + 7 \cdot 1 - 12$

ステップ 2.2.2.1.3.5

$1$ と $4$ をたし算します。

$5 + 7 \cdot 1 - 12$

ステップ 2.2.2.1.3.6

$7$ に $1$ をかけます。

$5 + 7 - 12$

ステップ 2.2.2.1.3.7

$5$ と $7$ をたし算します。

$12 - 12$

ステップ 2.2.2.1.3.8

$12$ から $12$ を引きます。

$0$

ステップ 2.2.2.1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $p - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12}{p - 1}$

ステップ 2.2.2.1.5

$p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ を $p - 1$ で割ります。

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ステップ 2.2.2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$p$

$1$

$p^{3}$

$4 p^{2}$

$7 p$

$12$

ステップ 2.2.2.1.5.2

被除数 $p^{3}$ の最高次項を除数 $p$ の最高次項で割ります。

					$p^{2}$
	$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$

ステップ 2.2.2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			+	$p^{3}$	-	$p^{2}$

ステップ 2.2.2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $p^{3} - p^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$

ステップ 2.2.2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$

ステップ 2.2.2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

ステップ 2.2.2.1.5.7

被除数 $5 p^{2}$ の最高次項を除数 $p$ の最高次項で割ります。

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

ステップ 2.2.2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					+	$5 p^{2}$	-	$5 p$

ステップ 2.2.2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $5 p^{2} - 5 p$ の符号をすべて変更します。

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$

ステップ 2.2.2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$

ステップ 2.2.2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

ステップ 2.2.2.1.5.12

被除数 $12 p$ の最高次項を除数 $p$ の最高次項で割ります。

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

ステップ 2.2.2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							+	$12 p$	-	$12$

ステップ 2.2.2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $12 p - 12$ の符号をすべて変更します。

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$

ステップ 2.2.2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$
										$0$

ステップ 2.2.2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$p^{2} + 5 p + 12$

ステップ 2.2.2.1.6

$p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ を因数の集合として書き換えます。

$4 ((p - 1) (p^{2} + 5 p + 12)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$p - 1 = 0$

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

ステップ 2.4

$p - 1$ を $0$ に等しくし、 $p$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$p - 1$ が $0$ に等しいとします。

$p - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$p = 1$

ステップ 2.5

$p^{2} + 5 p + 12$ を $0$ に等しくし、 $p$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$p^{2} + 5 p + 12$ が $0$ に等しいとします。

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

ステップ 2.5.2

$p$ について $p^{2} + 5 p + 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 5$ 、および $c = 12$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $p$ の値を求めます。

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 12$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $12$ をかけます。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$25$ から $48$ を引きます。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.5.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.4.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 12$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.2.2

$- 4$ に $12$ をかけます。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.3

$25$ から $48$ を引きます。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.5.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$p = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.5.2.4.4

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$p = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.5.2.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{23}$ で因数分解します。

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

ステップ 2.5.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ で因数分解します。

$p = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

ステップ 2.5.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.5.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.5.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 12$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.2.2

$- 4$ に $12$ をかけます。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.3

$25$ から $48$ を引きます。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.4

$- 23$ を $- 1 (23)$ に書き換えます。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (23)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ に書き換えます。

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.5.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$p = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.5.2.5.4

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.5.2.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{23}$ で因数分解します。

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

ステップ 2.5.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ で因数分解します。

$p = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

ステップ 2.5.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$p = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.5.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.6

最終解は $4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$ を真にするすべての値です。

$p = 1, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 2.7

首位係数を求めます。

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ステップ 2.7.1

多項式の最高次の項は最高次をもつ項です。

$4 p^{3}$

ステップ 2.7.2

多項式の首位係数は最高次の項の係数です。

$4$

ステップ 2.8

実x切片がなく、首位係数が正なので、放物線は上に開で $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ は常に $0$ より大きくなります。

すべての実数

ステップ 3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${p | p \in ℝ}$

ステップ 4

有限数学 例

有限数学例