有限数学例

$\frac{\frac{x - 4}{x^{2} - x}}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

ステップ 1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{x - 4}{x^{2} - x} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

ステップ 2

$x$ を $x^{2} - x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x - 4}{x \cdot x - x} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

ステップ 2.2

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{x - 4}{x \cdot x + x \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

ステップ 2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 (x) + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

ステップ 3.1.2

$3$ を $1$ プラス $2$ に書き換える

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

ステップ 3.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + x + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

ステップ 3.3

最大公約数 $2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1^{2}}}$

ステップ 4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.2

$- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ を掛けます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}}$

ステップ 5.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.1

$\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}}$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ に $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ をかけます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{(x + 1) (x - 1) (2 x + 1)}}$

ステップ 5.3.3

$(x + 1) (x - 1) (2 x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5

因数分解した形で $\frac{(x - 1) (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}$ を書き換えます。

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ステップ 5.5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 5.5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x (x - 1) - 1 (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.2.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.2.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - x + 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.2.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - 2 x - 1 \cdot 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - 2 x - 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.6

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x + 1 - 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.7

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x + 0}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.8

$x^{2} - 4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.9

$x$ を $x^{2} - 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.9.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x - 4 x}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.9.2

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 5.5.9.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x (x - 4)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

ステップ 6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} (1 \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)})$

ステップ 7

$\frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)}$

ステップ 8

$x - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1

$x - 4$ を $x (x - 4)$ で因数分解します。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x - 4) x}$

ステップ 8.2

共通因数を約分します。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x - 4) x}$

ステップ 8.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x}$

ステップ 9

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1

$x - 1$ を $x (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x}$

ステップ 9.2

$x - 1$ を $(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(x - 1) ((2 x + 1) (x + 1))}{x}$

ステップ 9.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(x - 1) ((2 x + 1) (x + 1))}{x}$

ステップ 9.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x}$

ステップ 10

$\frac{1}{x}$ に $\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x}$ をかけます。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x \cdot x}$

ステップ 11

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1} x}$

ステップ 12

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1} x^{1}}$

ステップ 13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1 + 1}}$

ステップ 14

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{2}}$

有限数学 例

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