有限数学例

$\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (6)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\ln (6)$ を引きます。

$\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6) = 0$

ステップ 2

$\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6)$ を簡約します。

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ステップ 2.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (x (x + 1)) - \ln (6) = 0$

ステップ 2.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$

ステップ 3

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{x (x + 1)}{6})} = e^{0}$

ステップ 4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = \frac{x (x + 1)}{6}$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$ として書き換えます。

$\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $6$ を掛けます。

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

ステップ 5.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$6 \frac{x (x + 1)}{6}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

ステップ 5.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$x (x + 1) = 6 e^{0}$

ステップ 5.3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

ステップ 5.3.1.1.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

ステップ 5.3.1.1.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x = 6 e^{0}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$6 e^{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{2} + x = 6 \cdot 1$

ステップ 5.3.2.1.2

$6$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x = 6$

ステップ 5.4

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x^{2} + x - 6 = 0$

ステップ 5.5

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $1$ です。

$- 2, 3$

ステップ 5.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x + 3) = 0$

ステップ 5.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 5.7

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.7.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 5.7.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 5.8

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.8.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.8.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5.9

最終解は $(x - 2) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 3$

有限数学 例

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