有限数学例

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$

ステップ 1

x切片を求めます。

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ステップ 1.1

x切片を求めるために、 $0$ を $y$ に代入し $x$ を解きます。

$0 = x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$

ステップ 1.2

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式を $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39 = 0$ として書き換えます。

$x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39 = 0$

ステップ 1.2.2

有理根検定を用いて $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

$q = \pm 1$

ステップ 1.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

ステップ 1.2.2.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 1.2.2.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

${(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 35 \cdot - 1 - 39$

ステップ 1.2.2.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 + 5 {(- 1)}^{2} - 35 \cdot - 1 - 39$

ステップ 1.2.2.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 + 5 \cdot 1 - 35 \cdot - 1 - 39$

ステップ 1.2.2.3.4

$5$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 5 - 35 \cdot - 1 - 39$

ステップ 1.2.2.3.5

$- 1$ と $5$ をたし算します。

$4 - 35 \cdot - 1 - 39$

ステップ 1.2.2.3.6

$- 35$ に $- 1$ をかけます。

$4 + 35 - 39$

ステップ 1.2.2.3.7

$4$ と $35$ をたし算します。

$39 - 39$

ステップ 1.2.2.3.8

$39$ から $39$ を引きます。

$0$

ステップ 1.2.2.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39}{x + 1}$

ステップ 1.2.2.5

$x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 1.2.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$35 x$

$39$

ステップ 1.2.2.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$

ステップ 1.2.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 1.2.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 1.2.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

ステップ 1.2.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$

ステップ 1.2.2.5.7

被除数 $4 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$

ステップ 1.2.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

ステップ 1.2.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{2} + 4 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

ステップ 1.2.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$

ステップ 1.2.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$

ステップ 1.2.2.5.12

被除数 $- 39 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$

ステップ 1.2.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							-	$39 x$	-	$39$

ステップ 1.2.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 39 x - 39$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							+	$39 x$	+	$39$

ステップ 1.2.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							+	$39 x$	+	$39$
										$0$

ステップ 1.2.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + 4 x - 39$

ステップ 1.2.2.6

$x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 1) (x^{2} + 4 x - 39) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 4 x - 39 = 0$

ステップ 1.2.4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 1.2.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.5

$x^{2} + 4 x - 39$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$x^{2} + 4 x - 39$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 x - 39 = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について $x^{2} + 4 x - 39 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 4$ 、および $c = - 39$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 39)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.3

簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.3.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 39$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.3.1.3

$16$ と $156$ をたし算します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.3.1.4

$172$ を $2^{2} \cdot 43$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.3.1.4.1

$4$ を $172$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

ステップ 1.2.5.2.3.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ を簡約します。

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

ステップ 1.2.5.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.5.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.4.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.4.1.2.2

$- 4$ に $- 39$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.4.1.3

$16$ と $156$ をたし算します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.4.1.4

$172$ を $2^{2} \cdot 43$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.4.1.4.1

$4$ を $172$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

ステップ 1.2.5.2.4.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ を簡約します。

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

ステップ 1.2.5.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 2 + \sqrt{43}$

ステップ 1.2.5.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.5.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.5.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ を掛けます。

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ステップ 1.2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.5.1.2.2

$- 4$ に $- 39$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.5.1.3

$16$ と $156$ をたし算します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.5.1.4

$172$ を $2^{2} \cdot 43$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.5.2.5.1.4.1

$4$ を $172$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.5.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

ステップ 1.2.5.2.5.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ を簡約します。

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

ステップ 1.2.5.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 2 - \sqrt{43}$

ステップ 1.2.5.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 2 + \sqrt{43}, - 2 - \sqrt{43}$

ステップ 1.2.6

最終解は $(x + 1) (x^{2} + 4 x - 39) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, - 2 + \sqrt{43}, - 2 - \sqrt{43}$

ステップ 1.3

点形式のx切片です。

x切片： $(- 1, 0), (- 2 + \sqrt{43}, 0), (- 2 - \sqrt{43}, 0)$

ステップ 2

y切片を求めます。

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ステップ 2.1

y切片を求めるために、 $0$ を $x$ に代入し $y$ を解きます。

$y = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

ステップ 2.2

方程式を解きます。

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ステップ 2.2.1

括弧を削除します。

$y = 0^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

ステップ 2.2.2

括弧を削除します。

$y = 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

ステップ 2.2.3

括弧を削除します。

$y = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

ステップ 2.2.4

${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$ を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

ステップ 2.2.4.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0 + 5 \cdot 0 - 35 \cdot 0 - 39$

ステップ 2.2.4.1.3

$5$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 - 35 \cdot 0 - 39$

ステップ 2.2.4.1.4

$- 35$ に $0$ をかけます。

$y = 0 + 0 + 0 - 39$

ステップ 2.2.4.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 + 0 - 39$

ステップ 2.2.4.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$y = 0 - 39$

ステップ 2.2.4.2.3

$0$ から $39$ を引きます。

$y = - 39$

ステップ 2.3

点形式のy切片です。

y切片： $(0, - 39)$

ステップ 3

交点を一覧にします。

x切片： $(- 1, 0), (- 2 + \sqrt{43}, 0), (- 2 - \sqrt{43}, 0)$

y切片： $(0, - 39)$

ステップ 4

有限数学 例

有限数学例