有限数学例

$y = e^{- x} \cdot \ln (x)$

ステップ 1

漸近線を求めます。

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ステップ 1.1

式 $e^{- x} \cdot \ln (x)$ が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 1.2

$e^{- x} \cdot \ln (x)$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $0$ 、 $e^{- x} \cdot \ln (x)$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $0$ としているので、 $x = 0$ は垂直漸近線です。

$x = 0$

ステップ 1.3

$lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x)$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 1.3.1

$e^{- x} \ln (x)$ を $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

ステップ 1.3.2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.3.2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 1.3.2.1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 1.3.2.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.3.2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.3.2.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 1.3.2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 1.3.2.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 1.3.2.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

ステップ 1.3.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 1.3.2.5

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{e^{x}}$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

ステップ 1.3.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x e^{x}}$ は $0$ に近づきます。

$0$

ステップ 1.4

水平漸近線のリスト：

$y = 0$

ステップ 1.5

対数関数と三角関数の斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 1.6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線： $y = 0$

垂直漸近線： $x = 0$

水平漸近線： $y = 0$

ステップ 2

$x = 1$ で点を求めます。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = e^{- (1)} \cdot \ln (1)$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = e^{- 1} \cdot \ln (1)$

ステップ 2.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1)$

ステップ 2.2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{e}$ に $0$ をかけます。

$f (1) = 0$

ステップ 2.2.5

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 2.3

$0$ を10進数に変換します。

$y = 0$

ステップ 3

$x = 2$ で点を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = e^{- (2)} \cdot \ln (2)$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (2) = e^{- 2} \cdot \ln (2)$

ステップ 3.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot \ln (2)$

ステップ 3.2.3

$\frac{1}{e^{2}}$ と $\ln (2)$ をまとめます。

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

ステップ 3.2.4

最終的な答えは $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ です。

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

ステップ 3.3

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ を10進数に変換します。

$y = 0.09380727$

ステップ 4

$x = 3$ で点を求めます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = e^{- (3)} \cdot \ln (3)$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (3) = e^{- 3} \cdot \ln (3)$

ステップ 4.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (3)$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{e^{3}}$ と $\ln (3)$ をまとめます。

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

ステップ 4.2.4

最終的な答えは $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ です。

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

ステップ 4.3

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ を10進数に変換します。

$y = 0.05469668$

ステップ 5

対数関数は、 $x = 0$ における垂直漸近線と点 $(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ を利用してグラフにすることができます。

垂直漸近線： $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

ステップ 6

有限数学 例

有限数学例