有限数学例

$y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

ステップ 1

漸近線を求めます。

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ステップ 1.1

式 $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ が未定義である場所を求めます。

$x \leq - 5, x = 0$

ステップ 1.2

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $- 5$ 、 $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $- 5$ としているので、 $x = - 5$ は垂直漸近線です。

$x = - 5$

ステップ 1.3

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $0$ 、 $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $0$ としているので、 $x = 0$ は垂直漸近線です。

$x = 0$

ステップ 1.4

すべての垂直漸近線のリスト：

$x = - 5, 0$

ステップ 1.5

対数を無視して、 $n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 1.6

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 0$

$m = 2$

ステップ 1.7

$n < m$ なので、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

$y = 0$

ステップ 1.8

対数関数と三角関数の斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 1.9

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - 5, 0$

水平漸近線： $y = 0$

垂直漸近線： $x = - 5, 0$

水平漸近線： $y = 0$

ステップ 2

$x = 1$ で点を求めます。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (1 + 5)$ を簡約します。

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}$

ステップ 2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}$

ステップ 2.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$1$ と $5$ をたし算します。

$f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}$

ステップ 2.2.3.2

$6$ を $5$ 乗します。

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

ステップ 2.2.4

$\ln (7776)$ を $1$ で割ります。

$f (1) = \ln (7776)$

ステップ 2.2.5

最終的な答えは $\ln (7776)$ です。

$\ln (7776)$

ステップ 2.3

$\ln (7776)$ を10進数に変換します。

$y = 8.95879734$

ステップ 3

$x = 2$ で点を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (2 + 5)$ を簡約します。

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}$

ステップ 3.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}$

ステップ 3.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$2$ と $5$ をたし算します。

$f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}$

ステップ 3.2.3.2

$7$ を $5$ 乗します。

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

ステップ 3.2.4

$\frac{\ln (16807)}{4}$ を $\frac{1}{4} \ln (16807)$ に書き換えます。

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)$

ステップ 3.2.5

対数の中の $\frac{1}{4}$ を移動させて $\frac{1}{4} \ln (16807)$ を簡約します。

$f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})$

ステップ 3.2.6

最終的な答えは $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ です。

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

ステップ 3.3

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ を10進数に変換します。

$y = 2.43238768$

ステップ 4

$x = 3$ で点を求めます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (3 + 5)$ を簡約します。

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}$

ステップ 4.2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}$

ステップ 4.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$3$ と $5$ をたし算します。

$f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}$

ステップ 4.2.3.2

$8$ を $5$ 乗します。

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

ステップ 4.2.4

$\ln (32768)$ を $\ln (2^{15})$ に書き換えます。

$f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}$

ステップ 4.2.5

$15$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{15})$ を展開します。

$f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}$

ステップ 4.2.6

$15$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.6.1

$3$ を $15 \ln (2)$ で因数分解します。

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}$

ステップ 4.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}$

ステップ 4.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}$

ステップ 4.2.6.2.3

式を書き換えます。

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

ステップ 4.2.7

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (2)$ を簡約します。

$f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}$

ステップ 4.2.8

$2$ を $5$ 乗します。

$f (3) = \frac{\ln (32)}{3}$

ステップ 4.2.9

$\frac{\ln (32)}{3}$ を $\frac{1}{3} \ln (32)$ に書き換えます。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)$

ステップ 4.2.10

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (32)$ を簡約します。

$f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})$

ステップ 4.2.11

最終的な答えは $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ です。

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

ステップ 4.3

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$ を10進数に変換します。

$y = 1.1552453$

ステップ 5

対数関数は、 $x = - 5, 0$ における垂直漸近線と点 $(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)$ を利用してグラフにすることができます。

垂直漸近線： $x = - 5, 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}$

ステップ 6

有限数学 例

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