有限数学例

$\log_{b} (x) = \frac{3}{2} \cdot \log_{b} (9) - \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27)$

ステップ 1

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\frac{3}{2}$ と $\log_{b} (9)$ をまとめます。

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2}{3} \log_{b} (27)$

ステップ 1.1.2

$\log_{b} (27)$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{\log_{b} (27) \cdot 2}{3}$

ステップ 1.1.3

$2$ を $\log_{b} (27)$ の左に移動させます。

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$

ステップ 2

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ の各項に $6$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$\log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} - \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ の各項に $6$ を掛けます。

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$6$ を $\log_{b} (x)$ の左に移動させます。

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

ステップ 2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

$6 \log_{b} (x) = \frac{3 \log_{b} (9)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

ステップ 2.3.1.1.3

式を書き換えます。

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (9) \cdot 3 - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

ステップ 2.3.1.2

$3$ に $3$ をかけます。

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - \frac{2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

ステップ 2.3.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.3.1

$- \frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot 6$

ステップ 2.3.1.3.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 (2))$

ステップ 2.3.1.3.3

共通因数を約分します。

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) + \frac{- 2 \log_{b} (27)}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

ステップ 2.3.1.3.4

式を書き換えます。

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - 2 \log_{b} (27) \cdot 2$

ステップ 2.3.1.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$6 \log_{b} (x) = 9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

対数の中の $6$ を移動させて $6 \log_{b} (x)$ を簡約します。

$\log_{b} (x^{6}) = 9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$9 \log_{b} (9) - 4 \log_{b} (27)$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1.1

対数の中の $9$ を移動させて $9 \log_{b} (9)$ を簡約します。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (9^{9}) - 4 \log_{b} (27)$

ステップ 4.1.1.2

$9$ を $9$ 乗します。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - 4 \log_{b} (27)$

ステップ 4.1.1.3

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \log_{b} (27)$ を簡約します。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - \log_{b} (27^{4})$

ステップ 4.1.1.4

$27$ を $4$ 乗します。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (387420489) - \log_{b} (531441)$

ステップ 4.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{387420489}{531441})$

ステップ 4.1.3

$387420489$ を $531441$ で割ります。

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (729)$

ステップ 5

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$x^{6} = 729$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{729}$

ステップ 6.2

$\pm \sqrt[6]{729}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$729$ を $3^{6}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[6]{3^{6}}$

ステップ 6.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3$

ステップ 6.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3$

ステップ 6.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3, - 3$

有限数学 例

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