有限数学例

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

ステップ 1

方程式を $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$ として書き換えます。

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

ステップ 2

各項を因数分解します。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

ステップ 2.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 7 x + 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $- 7$ です。

$- 4, - 3$

ステップ 2.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

ステップ 3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$(x - 4) (x - 3), 1$

ステップ 3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$(x - 4) (x - 3)$

ステップ 4

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ の各項に $(x - 4) (x - 3)$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 4.1

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ の各項に $(x - 4) (x - 3)$ を掛けます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$(x - 4) (x - 3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

ステップ 4.2.1.2

式を書き換えます。

$(x + 1) (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

ステップ 4.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 4.2.2.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

ステップ 4.2.2.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

ステップ 4.2.2.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

ステップ 4.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

ステップ 4.2.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

ステップ 4.2.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

ステップ 4.2.3.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

ステップ 4.2.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - x + x - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

ステップ 4.2.3.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$x^{2} + 0 - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

ステップ 4.2.3.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 3)$ を展開します。

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ステップ 4.3.1.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 1 = y (x (x - 3) - 4 (x - 3))$

ステップ 4.3.1.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 (x - 3))$

ステップ 4.3.1.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

ステップ 4.3.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} - 1 = y (x^{2} + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 3)$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 x - 4 x + 12)$

ステップ 4.3.2.2

$- 3 x$ から $4 x$ を引きます。

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 7 x + 12)$

ステップ 4.3.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 1 = y x^{2} + y (- 7 x) + y \cdot 12$

ステップ 4.3.4

簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + y \cdot 12$

ステップ 4.3.4.2

$12$ を $y$ の左に移動させます。

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 \cdot y$

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 y$

ステップ 5

方程式を解きます。

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ステップ 5.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$y x^{2} - 7 y x + 12 y = x^{2} - 1$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} = - 1$

ステップ 5.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} + 1 = 0$

ステップ 5.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.5

$a = y - 1$ 、 $b = - 7 y$ 、および $c = 12 y + 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7 y)}^{2} - 4 \cdot ((y - 1) \cdot (12 y + 1))}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.6.1

積の法則を $- 7 y$ に当てはめます。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6.2

$- 7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y - 4 \cdot - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6.4

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y + 4) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 y + 4) (12 y + 1)$ を展開します。

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ステップ 5.6.5.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y + 1) + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6.5.2

分配則を当てはめます。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6.5.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.6.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y \cdot y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6.6.1.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 5.6.6.1.2.1

$y$ を移動させます。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 (y \cdot y)) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6.6.1.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y^{2}) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6.6.1.3

$- 4$ に $12$ をかけます。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6.6.1.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6.6.1.5

$12$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6.6.1.6

$4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6.6.2

$- 4 y$ と $48 y$ をたし算します。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.6.7

$49 y^{2}$ から $48 y^{2}$ を引きます。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

ステップ 5.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

有限数学 例

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