有限数学例

$\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (2 x + 1) + \ln (x) = 2$

ステップ 2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ((2 x + 1) x) = 2$

ステップ 3

分配則を当てはめます。

$\ln (2 x \cdot x + 1 x) = 2$

ステップ 4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$x$ を移動させます。

$\ln (2 (x \cdot x) + 1 x) = 2$

ステップ 4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (2 x^{2} + 1 x) = 2$

ステップ 5

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (2 x^{2} + x) = 2$

ステップ 6

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (2 x^{2} + x)} = e^{2}$

ステップ 7

対数の定義を利用して $\ln (2 x^{2} + x) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2} = 2 x^{2} + x$

ステップ 8

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $2 x^{2} + x = e^{2}$ として書き換えます。

$2 x^{2} + x = e^{2}$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $e^{2}$ を引きます。

$2 x^{2} + x - e^{2} = 0$

ステップ 8.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 8.4

$a = 2$ 、 $b = 1$ 、および $c = - e^{2}$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.5

簡約します。

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ステップ 8.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 8.5.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.5.1.2.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

ステップ 8.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

ステップ 9

$\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$ が真にならない解を除外します。

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

10進法形式：

$x = 1.68830545 \dots$

有限数学 例

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