有限数学例

$a (n) = \frac{1}{3} \cdot (1 - {(- \frac{1}{2})}^{n - 1})$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

べき乗則

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 1.1.1.1

積の法則を

$- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}))$

ステップ 1.1.1.2

積の法則を

$\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}))$

ステップ 1.1.2

指数を足して

$- 1$ に

${(- 1)}^{n - 1}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1

${(- 1)}^{n - 1}$ を移動させます。

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot - 1 \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

ステップ 1.1.2.2

${(- 1)}^{n - 1}$ に

$- 1$ をかけます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$- 1$ を

$1$ 乗します。

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

ステップ 1.1.2.2.2

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

ステップ 1.1.2.3

$n - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 1$ と

$1$ をたし算します。

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n + 0} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

ステップ 1.1.2.3.2

$n$ と

$0$ をたし算します。

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

ステップ 1.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n - 1}})$

ステップ 1.1.4

${(- 1)}^{n}$ と

$\frac{1}{2^{n - 1}}$ をまとめます。

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}})$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$a n = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}$

ステップ 1.3

$\frac{1}{3}$ に

$1$ をかけます。

$a n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}$

ステップ 1.4

まとめる。

$a n = \frac{1}{3} + \frac{1 {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

ステップ 1.5

${(- 1)}^{n}$ に

$1$ をかけます。

$a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

ステップ 2

$a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ の各項を

$n$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ の各項を

$n$ で割ります。

$\frac{a n}{n} = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$n$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{a n}{n} = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

ステップ 2.2.1.2

$a$ を

$1$ で割ります。

$a = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$a = \frac{\frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

ステップ 2.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{3}$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}}$ を掛けます。

$a = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{1}{3}$ に

$\frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}}$ をかけます。

$a = \frac{\frac{2^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

ステップ 2.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$a = \frac{\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

ステップ 2.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}} \cdot \frac{1}{n}$

ステップ 2.3.4

$\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ に

$\frac{1}{n}$ をかけます。

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1} n}$

ステップ 2.3.5

$\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1} n}$ の因数を並べ替えます。

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 n \cdot 2^{n - 1}}$

有限数学 例

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