有限数学例

$z = \sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1}$

ステップ 1

方程式を $\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1} = z$ として書き換えます。

$\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1} = z$

ステップ 2

$\sqrt{1 - x^{2}}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1^{2}} = z$

ステップ 2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{(y + 1) (y - 1)} = z$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ を引きます。

$\sqrt{1 - x^{2}} = z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

ステップ 4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(1 - x^{2})}^{1} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

ステップ 4.2.1.2

簡約します。

$1 - x^{2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

${(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

${(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$ を $(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ に書き換えます。

$1 - x^{2} = (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

ステップ 4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$1 - x^{2} = z (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

ステップ 4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$1 - x^{2} = z \cdot z + z (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

ステップ 4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$1 - x^{2} = z \cdot z + z (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

ステップ 4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1.1

$z$ に $z$ をかけます。

$1 - x^{2} = z^{2} + z (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

ステップ 4.3.1.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

ステップ 4.3.1.3.1.3

$- \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + 1 \sqrt{(y + 1) (y - 1)} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 4.3.1.3.1.3.2

$\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ に $1$ をかけます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + \sqrt{(y + 1) (y - 1)} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 4.3.1.3.1.3.3

$\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ を $1$ 乗します。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 4.3.1.3.1.3.4

$\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ を $1$ 乗します。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1} {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1}$

ステップ 4.3.1.3.1.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1 + 1}$

ステップ 4.3.1.3.1.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{2}$

ステップ 4.3.1.3.1.4

${\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{2}$ を $(y + 1) (y - 1)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ を ${((y + 1) (y - 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {({((y + 1) (y - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 4.3.1.3.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 4.3.1.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 4.3.1.3.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 4.3.1.3.1.4.4.2

式を書き換えます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{1}$

ステップ 4.3.1.3.1.4.5

簡約します。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + (y + 1) (y - 1)$

ステップ 4.3.1.3.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(y + 1) (y - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1.5.1

分配則を当てはめます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y (y - 1) + 1 (y - 1)$

ステップ 4.3.1.3.1.5.2

分配則を当てはめます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)$

ステップ 4.3.1.3.1.5.3

分配則を当てはめます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.3.1.3.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1.6.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.3.1.3.1.6.1.2

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.3.1.3.1.6.1.3

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.3.1.3.1.6.1.4

$y$ に $1$ をかけます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1$

ステップ 4.3.1.3.1.6.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - y + y - 1$

ステップ 4.3.1.3.1.6.2

$- y$ と $y$ をたし算します。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} + 0 - 1$

ステップ 4.3.1.3.1.6.3

$y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - 1$

ステップ 4.3.1.3.2

$- \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z$ の因数を並べ替えます。

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 1$

ステップ 4.3.1.3.3

$- z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ から $z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ を引きます。

$1 - x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 1$

ステップ 5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 1 - 1$

ステップ 5.1.2

$- 1$ から $1$ を引きます。

$- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 2$

ステップ 5.2

$- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$\frac{z^{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x^{2} = - 1 \cdot z^{2} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.2.3.1.2

$- 1 \cdot z^{2}$ を $- z^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} = - z^{2} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.2.3.1.3

$\frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x^{2} = - z^{2} - 1 \cdot (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.2.3.1.4

$- 1 \cdot (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ を $- (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ に書き換えます。

$x^{2} = - z^{2} - (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.2.3.1.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} = - z^{2} + 2 (z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.2.3.1.6

$\frac{y^{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x^{2} = - z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - 1 \cdot y^{2} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.2.3.1.7

$- 1 \cdot y^{2}$ を $- y^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} = - z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.2.3.1.8

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = - z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2$

ステップ 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

ステップ 5.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

ステップ 5.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

ステップ 5.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

有限数学 例

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