有限数学例

$\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{y^{2}} = 4$

ステップ 1

方程式の両辺から $\sqrt[3]{y^{2}}$ を引きます。

$\sqrt[3]{x^{2}} = 4 - \sqrt[3]{y^{2}}$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} = {(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${(4 - \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

二項定理を利用します。

$x^{2} = 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.3.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.2.1

$4$ を $3$ 乗します。

$x^{2} = 64 + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.2

$4$ を $2$ 乗します。

$x^{2} = 64 + 3 \cdot 16 (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.3

$3$ に $16$ をかけます。

$x^{2} = 64 + 48 (- \sqrt[3]{y^{2}}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.4

$- 1$ に $48$ をかけます。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 3 \cdot 4 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.5

$3$ に $4$ をかけます。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.6

積の法則を $- \sqrt[3]{y^{2}}$ に当てはめます。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}) + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.7

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 (1 {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}) + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.8

${\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.9

${\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ を $\sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}}$ に書き換えます。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.10

${(y^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.10.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{y^{2 \cdot 2}} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{y^{4}} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.11

$y^{3}$ を因数分解します。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 \sqrt[3]{y^{3} y} + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.12

累乗根の下から項を取り出します。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 (y \sqrt[3]{y}) + {(- \sqrt[3]{y^{2}})}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.13

積の法則を $- \sqrt[3]{y^{2}}$ に当てはめます。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} + {(- 1)}^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.14

$- 1$ を $3$ 乗します。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - {\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.15

${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$ を $y^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.1.2.15.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{y^{2}}$ を $y^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - {(y^{\frac{2}{3}})}^{3}$

ステップ 3.3.1.2.15.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{2}{3} \cdot 3}$

ステップ 3.3.1.2.15.3

$\frac{2}{3}$ と $3$ をまとめます。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{2 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.3.1.2.15.4

$2$ に $3$ をかけます。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{6}{3}}$

ステップ 3.3.1.2.15.5

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.2.15.5.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{3 \cdot 2}{3}}$

ステップ 3.3.1.2.15.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.2.15.5.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}$

ステップ 3.3.1.2.15.5.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}$

ステップ 3.3.1.2.15.5.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{\frac{2}{1}}$

ステップ 3.3.1.2.15.5.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = 64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

ステップ 4.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

ステップ 4.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

ステップ 4.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

$x = - \sqrt{64 - 48 \sqrt[3]{y^{2}} + 12 y \sqrt[3]{y} - y^{2}}$

有限数学 例

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