有限数学例

$2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y + 128 = 0$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $128$ を引きます。

$2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$

ステップ 1.2

$2 x^{2} - 24 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 2$

$b = - 24$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 24$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 24$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (2)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 12}{2}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 12$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$2$ を $- 12$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 6}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.4

$- 6$ を $1$ で割ります。

$d = - 6$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 24$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$e = 0 - \frac{576}{8}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$576$ を $8$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 72$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $72$ をかけます。

$e = 0 - 72$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $72$ を引きます。

$e = - 72$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $2 {(x - 6)}^{2} - 72$ に代入します。

$2 {(x - 6)}^{2} - 72$

ステップ 1.3

$2 {(x - 6)}^{2} - 72$ を方程式 $2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$ の中の $2 x^{2} - 24 x$ に代入します。

$2 {(x - 6)}^{2} - 72 + 4 y^{2} + 32 y = - 128$

ステップ 1.4

両辺に $72$ を加えて、 $- 72$ を方程式の右辺に移動させます。

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 y^{2} + 32 y = - 128 + 72$

ステップ 1.5

$4 y^{2} + 32 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = 32$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{32}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1

$32$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.1

$2$ を $32$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (4)}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{16}{4}$

ステップ 1.5.3.2.2

$16$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot 4}{4}$

ステップ 1.5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.2.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{1}$

ステップ 1.5.3.2.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$d = 4$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$32$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$1024$ を $16$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 64$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- 1$ に $64$ をかけます。

$e = 0 - 64$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ から $64$ を引きます。

$e = - 64$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ に代入します。

$4 {(y + 4)}^{2} - 64$

ステップ 1.6

$4 {(y + 4)}^{2} - 64$ を方程式 $2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$ の中の $4 y^{2} + 32 y$ に代入します。

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} - 64 = - 128 + 72$

ステップ 1.7

両辺に $64$ を加えて、 $- 64$ を方程式の右辺に移動させます。

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = - 128 + 72 + 64$

ステップ 1.8

$- 128 + 72 + 64$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

$- 128$ と $72$ をたし算します。

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = - 56 + 64$

ステップ 1.8.2

$- 56$ と $64$ をたし算します。

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 8$

ステップ 1.9

各項を $8$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{2 {(x - 6)}^{2}}{8} + \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{8} = \frac{8}{8}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{2} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 2$

$b = \sqrt{2}$

$k = - 4$

$h = 6$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(6, - 4)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{4 - 2^{1}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{4 - 1 \cdot 2}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{4 - 2}$

ステップ 5.3.3.2

$4$ から $2$ を引きます。

$\sqrt{2}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(6 + 2, - 4)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(8, - 4)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(6 - (2), - 4)$

ステップ 6.6

簡約します。

$(4, - 4)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(6 + \sqrt{2}, - 4)$

ステップ 7.3

楕円の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(6 - (\sqrt{2}), - 4)$

ステップ 7.5

簡約します。

$(6 - \sqrt{2}, - 4)$

ステップ 7.6

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

ステップ 8

離心率を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{2}}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

ステップ 8.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

ステップ 8.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

ステップ 8.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 - 2^{1}}}{2}$

ステップ 8.3.2.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 2}}{2}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{4 - 2}}{2}$

ステップ 8.3.4

$4$ から $2$ を引きます。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(6, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

偏心： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 10

有限数学 例

有限数学例