有限数学例

$y = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 16$

ステップ 1

$x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 16$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 16 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{3} - 4 x^{2}) + 4 x - 16 = 0$

ステップ 2.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (x - 4) + 4 (x - 4) = 0$

ステップ 2.1.2

最大公約数 $x - 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 4) (x^{2} + 4) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.3

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.4

$x^{2} + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} = - 4$

ステップ 2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

ステップ 2.4.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 2.4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 2.4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 2.4.2.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.4.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 2$

ステップ 2.4.2.3.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i$

ステップ 2.4.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.4.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i$

ステップ 2.4.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i$

ステップ 2.4.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i, - 2 i$

ステップ 2.5

最終解は $(x - 4) (x^{2} + 4) = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = 4$ （ $1$ の重複度）

$x = 2 i$ （ $1$ の重複度）

$x = - 2 i$ （ $1$ の重複度）

$x = 4$ （ $1$ の重複度）

$x = 2 i$ （ $1$ の重複度）

$x = - 2 i$ （ $1$ の重複度）

ステップ 3

有限数学 例

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