有限数学例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$

ステップ 1

$x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$- 8 x^{3} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 8 x$ を $- 8 x^{3} + 24 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 8 x$ を $- 8 x^{3}$ で因数分解します。

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$- 8 x$ を $24 x$ で因数分解します。

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$- 8 x$ を $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ で因数分解します。

$- 8 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

ステップ 2.1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 8 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 12 x^{2} - 45 = 0$

ステップ 2.1.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 8 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 12 u - 45 = 0$

ステップ 2.1.5

たすき掛けを利用して $u^{2} + 12 u - 45$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 45$ で、その和が $12$ です。

$- 3, 15$

ステップ 2.1.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 8 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 15) = 0$

ステップ 2.1.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

ステップ 2.1.7

$x^{2} - 3$ を $- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1

$x^{2} - 3$ を $- 8 x (x^{2} - 3)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

ステップ 2.1.7.2

$x^{2} - 3$ を $(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 3) (- 8 x + x^{2} + 15) = 0$

ステップ 2.1.8

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x^{2} - 3) (- 8 u + u^{2} + 15) = 0$

ステップ 2.1.9

たすき掛けを利用して $- 8 u + u^{2} + 15$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $15$ で、その和が $- 8$ です。

$- 5, - 3$

ステップ 2.1.9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x^{2} - 3) ((u - 5) (u - 3)) = 0$

ステップ 2.1.10

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x^{2} - 3) ((x - 5) (x - 3)) = 0$

ステップ 2.1.10.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.3

$x^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$x^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

ステップ 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 2.3.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 2.3.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 2.3.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 2.4

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.6

最終解は $(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = \sqrt{3}$ （ $1$ の重複度）

$x = - \sqrt{3}$ （ $1$ の重複度）

$x = 5$ （ $1$ の重複度）

$x = 3$ （ $1$ の重複度）

$x = \sqrt{3}$ （ $1$ の重複度）

$x = - \sqrt{3}$ （ $1$ の重複度）

$x = 5$ （ $1$ の重複度）

$x = 3$ （ $1$ の重複度）

ステップ 3

有限数学 例

有限数学例