有限数学例

$(y + 2) (y - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

ステップ 1

分配法則（FOIL法）を使って $(y + 2) (y - 6)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$(y (y - 6) + 2 (y - 6)) (y^{2} - 4 y + 12)$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$(y \cdot y + y \cdot - 6 + 2 (y - 6)) (y^{2} - 4 y + 12)$

ステップ 1.3

分配則を当てはめます。

$(y \cdot y + y \cdot - 6 + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

ステップ 2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$(y^{2} + y \cdot - 6 + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

ステップ 2.1.2

$- 6$ を $y$ の左に移動させます。

$(y^{2} - 6 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

ステップ 2.1.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$(y^{2} - 6 y + 2 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$

ステップ 2.2

$- 6 y$ と $2 y$ をたし算します。

$(y^{2} - 4 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$

ステップ 3

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(y^{2} - 4 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$ を展開します。

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + y^{2} \cdot 12 - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + y^{2} \cdot 12 - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$y^{2} \cdot 12$ と $- 12 y^{2}$ について因数を並べ替えます。

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + 12 y^{2} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.1.2

$12 y^{2}$ から $12 y^{2}$ を引きます。

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 + 0 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.1.3

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12$ と $0$ をたし算します。

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

指数を足して $y^{2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{2 + 2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$y^{4} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y^{4} - 4 y^{2} y - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.3

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$y$ を移動させます。

$y^{4} - 4 (y \cdot y^{2}) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.3.2

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y^{4} - 4 (y^{1} y^{2}) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{4} - 4 y^{1 + 2} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.4

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$y^{2}$ を移動させます。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 (y^{2} y) - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.4.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 (y^{2} y^{1}) - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{2 + 1} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 y \cdot y - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.6

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

$y$ を移動させます。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.6.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 y^{2} - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.7

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.8

$12$ に $- 4$ をかけます。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.9

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 12 \cdot 12$

ステップ 4.2.10

$- 12$ に $12$ をかけます。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 144$

ステップ 4.3

項を加えて簡約します。

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ステップ 4.3.1

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 144$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.1.1

$- 48 y$ と $48 y$ をたし算します。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} + 0 - 144$

ステップ 4.3.1.2

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

ステップ 4.3.2

$- 4 y^{3}$ から $4 y^{3}$ を引きます。

$y^{4} - 8 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

ステップ 5

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 5.1

$y^{4}$ を ${(y^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(y^{2})}^{2} - 8 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

ステップ 5.2

$16 y^{2}$ を ${(4 y)}^{2}$ に書き換えます。

${(y^{2})}^{2} - 8 y^{3} + {(4 y)}^{2} - 144$

ステップ 5.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y)$

ステップ 5.4

多項式を書き換えます。

${(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y) + {(4 y)}^{2} - 144$

ステップ 5.5

$a = y^{2}$ と $b = 4 y$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(y^{2} - 4 y)}^{2} - 144$

ステップ 6

$144$ を $12^{2}$ に書き換えます。

${(y^{2} - 4 y)}^{2} - 12^{2}$

ステップ 7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y^{2} - 4 y$ であり、 $b = 12$ です。

$(y^{2} - 4 y + 12) (y^{2} - 4 y - 12)$

ステップ 8

因数分解。

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ステップ 8.1

たすき掛けを利用して $y^{2} - 4 y - 12$ を因数分解します。

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ステップ 8.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $- 4$ です。

$- 6, 2$

ステップ 8.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(y^{2} - 4 y + 12) ((y - 6) (y + 2))$

ステップ 8.2

不要な括弧を削除します。

$(y^{2} - 4 y + 12) (y - 6) (y + 2)$

有限数学 例

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